Em cada um dos itens abaixo, determine se a série converge ou diverge. Você vai perceber que, em alguns casos, mais de um teste pode ser utilizado.
sumn=1^infty 2(1,3)^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty 2(1,3)^n converge ou diverge. O conteúdo aqui é o estudo de séries geométricas e vamos precisar usar o teste de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser reescrito como uma série geométrica. Temos o termo an dado por
an = 2(1,3)^n = 2l(11,3r)^n A razão da série geométrica é
r = 11,3

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas afirma que se uma série tem a forma sum a,r^n-1 ou sum a,r^n, ela converge se e somente se |r|<1 e diverge caso contrário.

Passo 4

No nosso caso, calculamos:
|r| = l|11,3r| = 11,3 approx 0,769 < 1 Logo, pelo teste da série geométrica, a série converge.

Passo 5

Podemos ainda calcular a soma da série. Como o somatório começa em n=1, o primeiro termo é a1 = 2/(1,3). A soma de uma série geométrica é dada por a1/(1-r). Assim,
sumn=1^infty 2(1,3)^n = 2/(1,3)1 - 1/(1,3) = 2/1,3(1,3-1)/1,3 = 20,3 = 203

Resposta

A série é geométrica com razão r=1/1,3 e converge. Sua soma vale 20/3.

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