Em cada um dos itens abaixo, determine se a série converge ou diverge. Você vai perceber que, em alguns casos, mais de um teste pode ser utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. O conteúdo aqui é o estudo de séries geométricas e vamos precisar usar o teste de convergência para séries geométricas.
Passo 2
Observe que o termo geral pode ser reescrito como uma série geométrica. Temos o termo dado por
A razão da série geométrica é
Passo 3
O critério de convergência para séries geométricas afirma que se uma série tem a forma ou , ela converge se e somente se e diverge caso contrário.
Passo 4
No nosso caso, calculamos:
Logo, pelo teste da série geométrica, a série converge.
Passo 5
Podemos ainda calcular a soma da série. Como o somatório começa em n=1, o primeiro termo é a1 = 2/(1,3). A soma de uma série geométrica é dada por a1/(1-r). Assim,