Em cada um dos itens abaixo, determine se a série converge ou diverge. Você vai perceber que, em alguns casos, mais de um teste pode ser utilizado.
sumn=1^infty 3^n n!(n+3)!

Passo 1

O exercício pede para saber se a série sumn=1^infty 3^n n!(n+3)! converge ou diverge. O tema aqui é séries numéricas e vamos precisar usar testes de convergência, em especial o teste da razão.

Passo 2

Para simplificar o termo geral, lembramos que (n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)n!. Assim podemos escrever
.

Passo 3

No teste da razão, calculamos
L = limntoinfty l|an+1/anr|.
Aqui an = 3^n(n+3)(n+2)(n+1), então
an+1an = 3 cdot n+1n+4
e
L = limntoinfty 3 cdot n+1n+4 = 3.

Passo 4

Como L=3>1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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