Use o Teste da Razão para estudar a convergência da série abaixo.
sumn=0^infty n^pi4^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=0^infty n^pi4^n usando o teste da razão. Esse teste consiste em calcular
L = limntoinfty |an+1an|
onde an é o termo geral, e comparar com 1.

Passo 2

Identificamos an = n^pi4^n. Então
an+1an = (n+1)^pi4^n+1n^pi4^n = (n+1)^pin^pi cdot 4^n4^n+1 = (n+1n)^pi cdot 14

Passo 3

Vamos calcular o limite quando n tende a infinito:
L = limntoinfty (n+1n)^pi cdot 14 = limntoinfty (1 + 1n)^pi cdot 14 = 1 cdot 14 = 14

Passo 4

Como L = tfrac14 < 1, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Portanto, a série sumn=0^infty n^pi4^n é convergente.

Resposta

A série converge absolutamente, pois o limite da razão é tfrac14 < 1.

Exercícios relacionados