Use o Teste da Comparação para estudar a convergência da série abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty |cos^3(n)|n^3 usando o Teste da Comparação. O conteúdo principal é o Teste da Comparação Direta para séries de termos não negativos e precisamos lembrar que |cos(n)|<=1 e o comportamento de séries do tipo p-série.
Passo 2
O Teste da Comparação Direta diz que, se 0<= an<= bn para todo n a partir de certo índice e sum bn converge, então sum an também converge.
Passo 3
Como |cos(n)|<=1 para todo n, temos |cos^3(n)|<=1. Portanto,
|cos^3(n)|n^3;<=;1n^3para todo n
Passo 4
A série de referência sumn=1^infty1n^3 é uma p-série com p=3>1, logo é convergente.
Passo 5
Pelo Teste da Comparação Direta, como 0<=|cos^3(n)|n^3<=1n^3 e sum1/n^3 converge, conclui-se que a série original converge.
Resposta
A série converge por comparação direta com a p-série de expoente 3, que é convergente.