Em cada um dos itens abaixo diga se a função é injetora, sobrejetora, bijetora:
(i)
dada por
(ii)
dada por
(iii)
dada por
(iv)
dada por
(v)
dada por
(vi)
dada por
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar seis funções diferentes e dizer se cada uma é injetora, sobrejetora ou bijetora. Isso faz parte do conteúdo de Funções na Matemática. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades:
- Injetora: Cada elemento do domínio mapeia para um elemento distinto no contradomínio. Ou seja, se $ f(a) = f(b) $, então $ a = b $.
- Sobrejetora: Toda elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
- Bijetora: A função é tanto injetora quanto sobrejetora.
Agora, vamos analisar cada item.
Passo 2
Item (i): $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ dada por $ f(x) = 5x + 1 $
Primeiro, vamos ver se é injetora. Se $ f(a) = f(b) $, então:
Isso mostra que é injetora.
Agora, sobre a sobrejetora. Como é uma função linear com coeficiente não nulo, ela cobre todo o conjunto dos números reais. Portanto, é sobrejetora.
Como é injetora e sobrejetora, é bijetora.
Passo 3
Item (ii): $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ dada por $ f(x) = x^{2} + 4 $
Vamos ver a injetividade. Suponha que $ f(a) = f(b) $:
Como pode acontecer $ a \neq b $ (por exemplo, $ a = 2 $ e $ b = -2 $), a função não é injetora.
Agora, para a sobrejetividade: o valor mínimo de $ f(x) $ é 4 (quando $ x = 0 $), então $ f(x) $ só atinge valores maiores ou iguais a 4. Como o contradomínio é $ \mathbb{R} $, nem todo número real é imagem de algum $ x $, então não é sobrejetora.
Portanto, a função não é nem injetora nem sobrejetora.
Passo 4
Item (iii): $ f:\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right) \rightarrow [-1,1] $ dada por $ f(x) = \cos(x) $
Primeiro, vamos verificar a injetividade. A função cosseno não é injetora nesse intervalo porque o cosseno repete valores. Por exemplo, $ \cos(0) = \cos(\pi) = 1 $, mas $ 0 \neq \pi $.
Agora, sobre a sobrejetividade. O cosseno, nesse intervalo, atinge todos os valores entre -1 e 1. Portanto, é sobrejetora.
Como só é sobrejetora, a função não é bijetora.
Passo 5
Item (iv): $ f:[0, \infty) \rightarrow [4, \infty) $ dada por $ f(x) = x^{2} + 4 $
Vamos ver se é injetora. Se $ f(a) = f(b) $:
Como o domínio é $ [0, \infty) $, não temos valores negativos, então $ a = b $. Logo, é injetora.
Agora, para a sobrejetividade: para qualquer $ y \geq 4 $, existe $ x = \sqrt{y - 4} $ que pertence ao domínio. Assim, é sobrejetora.
Como é injetora e sobrejetora, é bijetora.
Passo 6
Item (v): $ f:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} $ dada por $ f(x) = \tan(x) $
Primeiro, a injetividade. A função tangente é estritamente crescente nesse intervalo, então se $ f(a) = f(b) $, necessariamente $ a = b $. Portanto, é injetora.
Agora, sobre a sobrejetividade. A tangente nesse intervalo cobre todos os números reais, então é sobrejetora.
Assim, a função é bijetora.
Passo 7
Item (vi): $ f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} $ dada por $ f(x) = x^{2} + 4 $
Vamos verificar a injetividade. Se $ f(a) = f(b) $:
Como $ x \geq 0 $, não há valores negativos, logo $ a = b $. Assim, é injetora.
Agora, sobre a sobrejetividade: o valor mínimo de $ f(x) $ é 4, mas o contradomínio é $ \mathbb{R} $. Ou seja, apenas valores $ y \geq 4 $ são imagens, mas há números menores que 4 que não são atingidos. Portanto, não é sobrejetora.
Então, a função só é injetora.
Resposta
(i) Bijetora;
(ii) Nem injetora nem sobrejetora;
(iii) Sobrejetora;
(iv) Bijetora;
(v) Bijetora;
(vi) Injetora.
(ii) Nem injetora nem sobrejetora;
(iii) Sobrejetora;
(iv) Bijetora;
(v) Bijetora;
(vi) Injetora.