Questão 4. (4.0) Justifique em detalhe a continuidade das funções nos casos:
Passo 1
Temos uma função de duas variáveis definida por partes:
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, usando definição de limite e propriedades de funções compostas.
Passo 2
No caso em que
satisfaz
, o denominador
é não nulo. Como as operações de soma, subtração, valor absoluto, potenciação e exponenciação são contínuas, segue que
é composição de funções contínuas em um vizinhança onde
Passo 3
Observe que para
vale
portanto
Essa forma simplificada é útil para estudar o limite quando
.
Passo 4
Agora analisamos a continuidade em um ponto genérico da reta
, digamos
. Devemos verificar
Para
Como
implica
e, portanto,
, segue que
Esse limite coincide com
Passo 5
Unindo os dois casos — pontos com
e pontos com
— concluímos que
é contínua em todo
.
Resposta
A função f é contínua em todo
.