Questão 4. (4.0) Justifique em detalhe a continuidade das funções nos casos:
f(x, y)=ce^-|x-y|x^2-2 x y+y^2, se x neq y 0, se x=y

Passo 1

Temos uma função de duas variáveis definida por partes:
f(x,y)=e^-tfrac|x-y|x^2-2xy+y^2,&xneq y0,&x=y
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, usando definição de limite e propriedades de funções compostas.

Passo 2

No caso em que (x,y) satisfaz xneq y, o denominador x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 é não nulo. Como as operações de soma, subtração, valor absoluto, potenciação e exponenciação são contínuas, segue que
f(x,y)=e^-|x-y|x^2-2xy+y^2
é composição de funções contínuas em um vizinhança onde xneq y. Logo, f é contínua em todos os pontos com xneq y.

Passo 3

Observe que para xneq y vale
x^2-2xy+y^2=(x-y)^2,
portanto
f(x,y)=e^-|x-y|(x-y)^2=e^-1|x-y|
Essa forma simplificada é útil para estudar o limite quando (x,y)to(a,a).

Passo 4

Agora analisamos a continuidade em um ponto genérico da reta x=y, digamos (a,a). Devemos verificar
lim(x,y)to(a,a)f(x,y)
Para (x,y)neq(a,a) definimos h=x-y, assim hto0 quando (x,y)to(a,a). Então
f(x,y)=e^-tfrac1|h|
Como hto0 implica 1/|h|to+infty e, portanto, -1/|h|to-infty, segue que
limhto0e^-1/|h|=0
Esse limite coincide com f(a,a)=0, logo f é contínua em (a,a).

Passo 5

Unindo os dois casos — pontos com xneq y e pontos com x=y — concluímos que f é contínua em todo R^2.

Resposta

A função f é contínua em todo R^2.

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