Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da razão é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(n^{2}\right)+2}{n!}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o teste da razão se aplica à série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos\bigl(n^{2}\bigr)+2}{n!}
e, em caso afirmativo, se ele garante convergência ou divergência. O conteúdo envolvido é o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Observamos que, para todo n,
-1 \le \cos\bigl(n^{2}\bigr)\le 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 \le \cos\bigl(n^{2}\bigr)+2 \le 3,
portanto os termos
a_{n}=\frac{\cos\bigl(n^{2}\bigr)+2}{n!}
são positivos e podemos aplicar o teste da razão sem precisar da parte de valor absoluto adicional.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\displaystyle\frac{\cos\bigl((n+1)^{2}\bigr)+2}{(n+1)!}} {\displaystyle\frac{\cos\bigl(n^{2}\bigr)+2}{n!}} =\frac{\cos\bigl((n+1)^{2}\bigr)+2}{\cos\bigl(n^{2}\bigr)+2}\,\frac{n!}{(n+1)!} =\frac{\cos\bigl((n+1)^{2}\bigr)+2}{\cos\bigl(n^{2}\bigr)+2}\,\frac{1}{n+1}.

Passo 4

Como 1\le\cos((n+1)^{2})+2\le3 e 1\le\cos(n^{2})+2\le3, temos
0 \le \frac{\cos((n+1)^{2})+2}{\cos(n^{2})+2}\le 3,
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0 \le \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\le \frac{3}{n+1}.
Fazendo n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =0<1.

Passo 5

Pelo teste da razão, se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1,
então a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

O teste da razão é aplicável e garante que a série converge (mais ainda, converge absolutamente).

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