Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da razão é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n+1) 4^{2 n+1}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o teste da razão é aplicável à série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n+1)\,4^{2n+1}}
Lembrando que, pelo teste da razão, se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
satisfaz L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo. Aqui a_n=\frac{10^n}{(n+1)4^{2n+1}}.

Passo 2

Vamos calcular
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{10^{n+1}}{(n+2)\,4^{2(n+1)+1}}}{\displaystyle\frac{10^n}{(n+1)\,4^{2n+1}}} = \frac{10^{n+1}}{(n+2)\,4^{2n+3}}\;\cdot\;\frac{(n+1)\,4^{2n+1}}{10^n}
=10\;\frac{n+1}{n+2}\;4^{(2n+1)-(2n+3)} =10\;\frac{n+1}{n+2}\;4^{-2} =\frac{10}{16}\;\frac{n+1}{n+2} =\frac{5}{8}\;\frac{n+1}{n+2}.

Passo 3

Agora tomamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{5}{8}\,\frac{n+1}{n+2} =\frac{5}{8}<1.

Passo 4

Como L<1, o teste da razão é aplicável e garante que a série converge absolutamente, logo a série converge.

Resposta

O teste da razão é aplicável e garante convergência da série.

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