Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da razão é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan (n)}{n^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da razão na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan(n)}{n^{2}}
ou seja, para a_{n}=\frac{\arctan(n)}{n^{2}} queremos calcular
Para n\to\infty temos \arctan(n)\to\frac{\pi}{2} e \arctan(n+1)\to\frac{\pi}{2}, logo \frac{\arctan(n+1)}{\arctan(n)}\to1. Ao mesmo tempo \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}=\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^{2}\to1.