Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da razão é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan (n)}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da razão na série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan(n)}{n^{2}}
ou seja, para a_{n}=\frac{\arctan(n)}{n^{2}} queremos calcular
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
e verificar se L<1, L>1 ou L=1.

Passo 2

Escrevendo o quociente
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\arctan(n+1)/(n+1)^{2}}{\arctan(n)/n^{2}} =\frac{\arctan(n+1)}{\arctan(n)}\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
Para n\to\infty temos \arctan(n)\to\frac{\pi}{2} e \arctan(n+1)\to\frac{\pi}{2}, logo
\frac{\arctan(n+1)}{\arctan(n)}\to1. Ao mesmo tempo
\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}=\bigl(\frac{n}{n+1}\bigr)^{2}\to1.

Passo 3

Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =1\,.
Como o teste da razão só garante convergência se L<1 ou divergência se L>1, o valor L=1 torna o teste inconclusivo.

Resposta

O teste da razão não é aplicável, pois leva a L=1 e, nesse caso, é inconclusivo.

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