Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da razão é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)}{n!}.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão na série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n)}{n!}
para decidir convergência ou divergência. Vamos precisar (1) simplificar o termo geral e (2) aplicar o teste da razão, que exige calcular
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral
a_n = \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}{n!}.
Note que
2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) = \prod_{k=1}^n (2k) = 2^n \, n!.
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a_n = \frac{2^n\,n!}{n!} = 2^n.

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão:
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{\,n+1}}{2^n} = \lim_{n\to\infty} 2 = 2.
Como L=2>1, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

O teste da razão é aplicável e dá L=2>1, portanto a série diverge.

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