Diga se a série \sum a_{n}, sendo a_{n} definida recursivamente pelas fórmula abaixo, são convergentes ou divergentes:
a_{1}=1 e a_{n+1}=\frac{2+\cos (n)}{\sqrt{n}} a_{n}.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por
a_{1}=1, \qquad a_{n+1}=\frac{2+\cos(n)}{\sqrt{n}}\;a_{n},
e pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
é convergente ou divergente.
O conteúdo principal aqui é o teste da razão (ou teste de D’Alembert), que diz: se
L = \limsup_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}/a_{n}\bigr| < 1,
então a série converge absolutamente.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{2+\cos(n)}{\sqrt{n}}.
Note que \cos(n) oscila em [-1,1], logo
0\le 2+\cos(n)\le 3
e \sqrt{n}\to\infty. Portanto
0\;\le\;\frac{2+\cos(n)}{\sqrt{n}}\;\le\;\frac{3}{\sqrt{n}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0.

Passo 3

Isto mostra que
L = \limsup_{n\to\infty}\frac{2+\cos(n)}{\sqrt{n}} = 0.
Como L=0<1, pelo teste da razão a série \sum a_{n} converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} é convergente.

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