Em cada um dos itens abaixo, encontre as condições precisas que as constantes b_{i} devem satisfazer para que o sistema seja compatível:
\left\{\begin{array}{l}x_{2}+x_{3}=2 \\\ x_{1}+b_{1} x_{2}+x_{3}=2 \\\ x_{1}+x_{2}=2\end{array}\right.

Passo 1

O sistema fornecido é
\begin{cases} x_{2}+x_{3}=2\\[4pt] x_{1}+b_{1}x_{2}+x_{3}=2\\[4pt] x_{1}+x_{2}=2 \end{cases}
As incógnitas são \,x_{1},x_{2},x_{3}\, e há uma constante conhecida apenas como \,b_{1}\,.\n
O que o enunciado pede: encontrar a(s) condição(ões) precisa(s) que \,b_{1}\, deve satisfazer para que o sistema seja compatível (ou seja, tenha pelo menos uma solução).]

Passo 2

Explicando o que significa “sistema compatível” de forma prática: o sistema é compatível quando existe algum triplo (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça as três equações simultaneamente. Uma forma direta de testar isso é tentar resolver as equações por substituição ou eliminação; se chegar a uma contradição do tipo 0= \text{número não nulo}úã então é incompatível; se resolvemos todas as variáveis sem contradição então é compatível (e, se a solução for única, o sistema é compatível determinado).

Passo 3

Usando substituição para reduzir o sistema. Da terceira equação temos explicitamente
x_{1}=2-x_{2}.
Substituindo esse x_{1} na segunda equação:
(2-x_{2}) + b_{1}x_{2} + x_{3}=2.
Simplificando essa igualdade (subtraindo 2 dos dois lados),
- x_{2} + b_{1}x_{2} + x_{3}=0.
Agrupando x_{2},
(b_{1}-1)x_{2} + x_{3}=0.
Isolando x_{3},
x_{3} = -(b_{1}-1)x_{2} = (1-b_{1})x_{2}.

Passo 4

Agora use a primeira equação \,x_{2}+x_{3}=2. Substituindo a expressão de x_{3} obtida no passo anterior:
x_{2} + (1-b_{1})x_{2} = 2.
Somando os coeficientes de x_{2},
(2 - b_{1})x_{2} = 2.

Passo 5

Analisar os casos segundo o coeficiente (2-b_{1}):
  • Caso (2-b_{1}) \neq 0 (ou seja, \,b_{1}\neq 2): então podemos dividir por (2-b_{1}) e obter
    x_{2} = \frac{2}{2 - b_{1}}.
    Em seguida
    x_{3} = 2 - x_{2} = 2 - \frac{2}{2 - b_{1}} = \frac{2(1-b_{1})}{2-b_{1}},
    e
    x_{1} = 2 - x_{2} = \frac{2(1-b_{1})}{2-b_{1}}.
    Não houve contradição, logo quando \,b_{1}\neq 2 o sistema é compatível (na verdade compatível determinado — tem solução única).
  • Caso (2-b_{1}) = 0 (ou seja, \,b_{1}=2): a igualdade do passo 4 fica
    0\cdot x_{2} = 2,
    que é a contradição \,0=2. Portanto para \,b_{1}=2 o sistema não tem solução (é incompatível).

Passo 6

(Comentário alternativo por matriz) Para ver isso de outra maneira rápida: a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & b_{1} & 1\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det(A)=2-b_{1}.
Se \det(A)\neq 0 ( b_{1}\neq 2) a matriz é invertível e o sistema tem solução única; se \det(A)=0 ( b_{1}=2) a matriz é singular e, checando o termo independente, obtemos incompatibilidade (como mostrado pela contradição anterior).]

Resposta

b_{1}\neq 2

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