Se A e B são matrizes e A B é quadrada, explique por que B A também é quadrada.

Passo 1

O enunciado dá que A e B são matrizes e que o produto AB é uma matriz quadrada. A pergunta é: por que isso implica que BA também é quadrada?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A e B são matrizes quaisquer;
  • o produto AB está definido e é quadrado.

Passo 2

Vamos introduzir uma notação para as dimensões das matrizes (isso facilita a conta). Suponha que
  • A tenha dimensão m\times n (ou seja, m linhas e n colunas);
  • B tenha dimensão n\times p (ou seja, n linhas e p colunas).
    Escolhemos essas dimensões porque para o produto AB estar definido a quantidade de colunas de A deve ser igual à quantidade de linhas de B, ou seja, a componente comum é n.

Passo 3

Recorde rápido sobre dimensões de produto: se A é m\times n e B é n\times p, então o produto AB tem dimensão m\times p. Portanto, com nossa notação, temos que
AB \text{ tem dimensão } m\times p.ã

Passo 4

O enunciado diz que AB é quadrada. Isso significa que o número de linhas e o número de colunas de AB são iguais; em notação:
m = p.
Substituindo isso nas dimensões de A e B, agora sabemos que A é m\times n e B é n\times m.

Passo 5

Agora verifiquemos o produto BA. A matriz B é n\times m e A é m\times n. Como a quantidade de colunas de B ( m) coincide com a quantidade de linhas de A ( m), o produto BA está definido. A dimensão do produto é
BA \text{ tem dimensão } n\times n,ã
isto é, BA é uma matriz quadrada (de ordem n).

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se A for 2\times3 e B for 3\times2, então AB é 2\times2 (quadrada) e BA é 3\times3 (também quadrada). Repare que as ordens podem ser diferentes ( AB e BA geralmente têm ordens diferentes), mas ambas são quadradas neste caso.

Resposta

Se A é m\times n e B é n\times p então AB é m\times p; se AB é quadrada então m=p. Assim A é m\times n e B é n\times m, logo BA existe e tem dimensão n\times n, portanto BA é quadrada.

Exercícios relacionados