Se
e
são matrizes e
é quadrada, explique por que
também é quadrada.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são matrizes e que o produto
é uma matriz quadrada. A pergunta é: por que isso implica que
também é quadrada?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
e são matrizes quaisquer; - o produto
está definido e é quadrado.
Passo 2
Vamos introduzir uma notação para as dimensões das matrizes (isso facilita a conta). Suponha que
-
tenha dimensão (ou seja, linhas e colunas); -
tenha dimensão (ou seja, linhas e colunas).
Escolhemos essas dimensões porque para o produtoestar definido a quantidade de colunas de deve ser igual à quantidade de linhas de , ou seja, a componente comum é .
Passo 3
Recorde rápido sobre dimensões de produto: se
é
e
é
, então o produto
tem dimensão
. Portanto, com nossa notação, temos que
Passo 4
O enunciado diz que
é quadrada. Isso significa que o número de linhas e o número de colunas de
são iguais; em notação:
Substituindo isso nas dimensões de
e
, agora sabemos que
é
e
é
.
Passo 5
Agora verifiquemos o produto
. A matriz
é
e
é
. Como a quantidade de colunas de
(
) coincide com a quantidade de linhas de
(
), o produto
está definido. A dimensão do produto é
isto é,
é uma matriz quadrada (de ordem
).
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se
for
e
for
, então
é
(quadrada) e
é
(também quadrada). Repare que as ordens podem ser diferentes (
e
geralmente têm ordens diferentes), mas ambas são quadradas neste caso.
Resposta
Se
é
e
é
então
é
; se
é quadrada então
. Assim
é
e
é
, logo
existe e tem dimensão
, portanto
é quadrada.