Em cada um dos itens abaixo encontre, se existe, um domínio
no qual a sequência
converge pontualmente para alguma função
.
.
Passo 1
O enunciado fornece a sequência de funções
definida por
A pergunta é: encontre, se existe, um domínio
no qual a sequência
converge pontualmente para alguma função
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A expressão de cada termo da sequência é
. - Devemos analisar a convergência ponto a ponto (para cada
fixo) e indicar um domínio onde essa convergência ocorre.
Passo 2
Definição útil (o que significa convergência pontual): para um conjunto
, dizemos que
converge pontualmente em
para uma função
se, para todo
, o limite
existe e é igual a
. A estratégia é: pegar um
fixo e calcular
. Vamos estudar esse limite separando os possíveis casos do sinal de
.
Passo 3
Caso
.
Escrevemos
Escrevemos
Aqui
porque
implica
e
. Lembrança/teorema simples: se
é um número real com
, então
. Aplicando com
obtemos
Exemplo numérico para fixar a ideia: se
então
, que tende a
rapidamente quando
.
Passo 4
Caso
.
Substituindo em
obtemos
Substituindo
para todo
. Portanto a sequência é constante igual a
e
Passo 5
Caso
.
De novo , mas agora
. Para qualquer número
temos
; ou seja, a sequência diverge para infinito e não converge para um número real finito. Assim, para todo
,
De novo
logo não há convergência pontual com valor real em tais
. Exemplo:
dá
.
Passo 6
Conclusão dos casos:
- Para todo [x<0) a sequência converge para
. - Para
a sequência converge para . - Para todo
a sequência diverge (vai para ), portanto não converge para um valor real.
A partir disso, um domínio natural máximo em que a sequência converge ponto a ponto para uma função real é
Nessa escolha, a função limite
é dada por
Observação: qualquer subconjunto de ((-\infty,0]] também é um domínio válido de convergência pontual (pois a convergência pontual em um conjunto se conserva em subconjuntos).]
Resposta
]