Em cada um dos itens abaixo encontre, se existe, um domínio I \subset \mathbb{R} no qual a sequência f_{n} converge pontualmente para alguma função f.
f_{n}(x)=e^{n x}.

Passo 1

O enunciado fornece a sequência de funções \,f_{n}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\, definida por
f_{n}(x)=e^{n x}.
A pergunta é: encontre, se existe, um domínio I\subset\mathbb{R} no qual a sequência (f_{n}) converge pontualmente para alguma função f.\n
Informações relevantes dadas:
  • A expressão de cada termo da sequência é \,f_{n}(x)=e^{n x}\,.
  • Devemos analisar a convergência ponto a ponto (para cada x fixo) e indicar um domínio I onde essa convergência ocorre.

Passo 2

Definição útil (o que significa convergência pontual): para um conjunto I\subset\mathbb{R}, dizemos que f_{n} converge pontualmente em I para uma função f se, para todo x\in I, o limite
\lim_{n\to\infty} f_{n}(x)
existe e é igual a f(x). A estratégia é: pegar um x fixo e calcular \lim_{n\to\infty} e^{n x}. Vamos estudar esse limite separando os possíveis casos do sinal de x.

Passo 3

Caso x<0.
Escrevemos
e^{n x} = \bigl(e^{x}\bigr)^{n}.
Aqui \,e^{x}\in(0,1)\, porque x<0 implica e^{x}<1 e e^{x}>0. Lembrança/teorema simples: se a é um número real com |a|<1, então \lim_{n\to\infty} a^{n}=0. Aplicando com a=e^{x} obtemos
\lim_{n\to\infty} e^{n x} = 0\qquad\text{para todo }x<0.
Exemplo numérico para fixar a ideia: se x=-1 então e^{n(-1)}=e^{-n}, que tende a 0 rapidamente quando n\to\infty.

Passo 4

Caso x=0.
Substituindo x=0 em f_{n} obtemos
f_{n}(0)=e^{n\cdot 0}=e^{0}=1
para todo n. Portanto a sequência é constante igual a 1 e
\lim_{n\to\infty} f_{n}(0)=1.

Passo 5

Caso x>0.
De novo \,e^{n x}=\bigl(e^{x}\bigr)^{n}, mas agora \,e^{x}>1. Para qualquer número a>1 temos \lim_{n\to\infty} a^{n}=+\infty; ou seja, a sequência diverge para infinito e não converge para um número real finito. Assim, para todo x>0,
\lim_{n\to\infty} e^{n x}=+\infty,
logo não há convergência pontual com valor real em tais x. Exemplo: x=1 e^{n}\to+\infty.

Passo 6

Conclusão dos casos:
  • Para todo [x<0) a sequência converge para 0.
  • Para x=0 a sequência converge para 1.
  • Para todo x>0 a sequência diverge (vai para +\infty), portanto não converge para um valor real.
A partir disso, um domínio natural máximo em que a sequência converge ponto a ponto para uma função real é
I = (-\infty,0].
Nessa escolha, a função limite f é dada por
f(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] 1, & x=0. \end{cases}
Observação: qualquer subconjunto de ((-\infty,0]] também é um domínio válido de convergência pontual (pois a convergência pontual em um conjunto se conserva em subconjuntos).]

Resposta

I = (-\infty,0]\)\n \(f(x)=\begin{cases}0, & x<0,\\[4pt]1, & x=0.\end{cases}]

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