Em cada um dos itens abaixo encontre, se existe, um domínio
no qual a sequência
converge pontualmente para alguma função
.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, se existir, um domínio
no qual a sequência de funções
converge pontualmente para alguma função
.
Dados fornecidos: a expressão de válida para todo
e todo
.
Pergunta clara: existe um conjunto tal que, para todo
, o limite
exista? Se sim, qual é
?
Dados fornecidos: a expressão de
Pergunta clara: existe um conjunto
Passo 2
Lembrete do que é convergência pontual (feito devagarinho): dizer que
converge pontualmente para
em
significa que, para cada ponto fixo
, a sequência de números reais
tem limite
. Em outras palavras, fixo um
, calculamos
e esse limite (se existir) será o valor
. Não se exige que a convergência seja uniforme nem rapidez; é só ponto a ponto.
Passo 3
Vamos estudar o limite ponto a ponto para um
fixo. Observe que, para
fixo,
Uma ideia natural é escrever isso como produto de
por um quociente:
desde que
. Se
vemos que
para todo
, então a sequência é constante zero em
e o limite é
. Agora tratemos
.
Passo 4
Para
vamos analisar o fator
Quando
temos
. Usamos o limite clássico
Justificativa rápida e padrão: como
e
tendem a
quando
, podemos aplicar a regra de L’Hôpital e obter
Portanto, substituindo
(que vai para
quando
), obtemos
Passo 5
Com o resultado do passo anterior, para
temos
E já vimos que para
temos
. Assim, para todo
o limite existe e vale
.
Passo 6
Interpretação e dica prática para prova: fixar
e usar a substituição
reduz o problema ao limite padrão
. Outra maneira intuitiva (sem L’Hôpital) é lembrar da expansão em série
quando
, que dá diretamente
, também levando à mesma conclusão. Em provas é seguro usar o limite
com justificativa por L’Hôpital ou argumento geométrico.