Em cada um dos itens abaixo encontre, se existe, um domínio I \subset \mathbb{R} no qual a sequência f_{n} converge pontualmente para alguma função f.
f_{n}(x)=n \sin \left(\frac{x}{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, um domínio I\subset\mathbb{R} no qual a sequência de funções
f_{n}(x)=n \sin\!\left(\frac{x}{n}\right)
converge pontualmente para alguma função f.
Dados fornecidos: a expressão de f_{n} válida para todo x\in\mathbb{R} e todo n\in\mathbb{N}.
Pergunta clara: existe um conjunto I\subset\mathbb{R} tal que, para todo x\in I, o limite \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) exista? Se sim, qual é f(x)?

Passo 2

Lembrete do que é convergência pontual (feito devagarinho): dizer que f_{n} converge pontualmente para f em I significa que, para cada ponto fixo x\in I, a sequência de números reais \bigl(f_{n}(x)\bigr)_{n} tem limite f(x). Em outras palavras, fixo um x, calculamos
\lim_{n\to\infty} f_{n}(x)
e esse limite (se existir) será o valor f(x). Não se exige que a convergência seja uniforme nem rapidez; é só ponto a ponto.

Passo 3

Vamos estudar o limite ponto a ponto para um x fixo. Observe que, para x fixo,
f_{n}(x)=n \sin\!\left(\frac{x}{n}\right).
Uma ideia natural é escrever isso como produto de x por um quociente:
n \sin\!\left(\frac{x}{n}\right)=x\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{x}{n}\right)}{\frac{x}{n}},
desde que x\neq 0. Se x=0 vemos que f_{n}(0)=n\sin(0)=0 para todo n, então a sequência é constante zero em x=0 e o limite é 0. Agora tratemos x\neq 0.

Passo 4

Para x\neq 0 vamos analisar o fator
\frac{\sin\!\left(\frac{x}{n}\right)}{\frac{x}{n}}.
Quando n\to\infty temos \frac{x}{n}\to 0. Usamos o limite clássico
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Justificativa rápida e padrão: como \sin t e t tendem a 0 quando t\to 0, podemos aplicar a regra de L’Hôpital e obter
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{\cos t}{1}=\cos 0=1.
Portanto, substituindo t=\frac{x}{n} (que vai para 0 quando n\to\infty), obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{n}\right)}{\frac{x}{n}}=1.

Passo 5

Com o resultado do passo anterior, para x\neq 0 temos
\lim_{n\to\infty} f_{n}(x)=\lim_{n\to\infty} x\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{x}{n}\right)}{\frac{x}{n}}=x\cdot 1 = x.
E já vimos que para x=0 temos \lim_{n\to\infty} f_{n}(0)=0. Assim, para todo x\in\mathbb{R} o limite existe e vale x.

Passo 6

Interpretação e dica prática para prova: fixar x e usar a substituição t=x/n reduz o problema ao limite padrão \sin t / t\to 1. Outra maneira intuitiva (sem L’Hôpital) é lembrar da expansão em série \sin t = t + O(t^3) quando t\to 0, que dá diretamente n\sin(x/n)=x+O(n^{-2}), também levando à mesma conclusão. Em provas é seguro usar o limite \lim_{t\to 0}\sin t / t=1 com justificativa por L’Hôpital ou argumento geométrico.

Resposta

I=\mathbb{R} e f(x)=x para todo x\in\mathbb{R}.

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