Verifique que a série converge uniformemente no intervalo [-r, r], sendo r>0 um número fixado.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 r}\right)^{n} x^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 r}\right)^{n} x^{n}
converge uniformemente no intervalo [-r,r], onde r>0 é um número fixado.\n
Informações dadas e o que é pedido:
  • A sequência de termos é dada por f_n(x)=\left(\frac{1}{2r}\right)^{n}x^{n}.
  • O domínio onde queremos a uniformidade é o intervalo [-r,r].
  • Precisamos provar que a soma das funções f_n(x) converge uniformemente para x\in[-r,r].

Passo 2

Reescrevendo a série em termos dos termos f_n:
f_n(x)=\left(\frac{x}{2r}\right)^n.
É útil pensar em cada termo dessa forma porque fica claro a dependência em x e o fator constante \frac{1}{2r}.

Passo 3

Vamos estimar o módulo de f_n(x) para x\in[-r,r]. Como |x|\le r nesse intervalo, temos
|f_n(x)|=\left|\frac{x}{2r}\right|^n=\left(\frac{|x|}{2r}\right)^n\le\left(\frac{r}{2r}\right)^n=\left(\frac{1}{2}\right)^n.
Aqui usei apenas a desigualdade |x|\le r e propriedades básicas de potências.

Passo 4

Apresentando a ferramenta que vamos usar: o Teste de Weierstrass (M-test). Ele diz o seguinte:
se existem constantes M_n\ge0 tais que |f_n(x)|\le M_n para todo x no domínio considerado e \sum_{n=1}^\infty M_n converge, então a série \sum_{n=1}^\infty f_n(x) converge uniformemente no domínio.\n
Explicando em miúdos: escolhemos uma sequência de limites superiores M_n independentes de x. Se a soma desses M_n converge, então o controle uniforme dado por esses M_n garante que a soma das f_n converge uniformemente.

Passo 5

Aplicando o M-test ao nosso caso: pela estimativa do Passo 3 podemos escolher
M_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n,
pois |f_n(x)|\le M_n para todo x\in[-r,r]. Agora verificamos a soma dos M_n:
\sum_{n=1}^\infty M_n=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n.
Esta é uma série geométrica com razão q=\frac{1}{2} e |q|<1. A soma da série geométrica (fórmula padrão) é
\sum_{n=1}^\infty q^n=\frac{q}{1-q},
logo, tomando q=\frac{1}{2},
\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=1,
ou seja, a série dos M_n converge.

Passo 6

Pelo Teste de Weierstrass (Passo 4) com os M_n do Passo 5, concluímos que a série \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge uniformemente em [-r,r].\n
Além disso, como usamos uma majorante por M_n com \sum M_n<\infty, a convergência é também uniformemente absoluta (a série de módulos converge uniformemente).

Passo 7

(Complemento prático — como escolher N para um dado \varepsilon)\n
Se quiser ver o controle da cauda explicitamente: para x\in[-r,r],
\left|\sum_{n=N+1}^\infty f_n(x)\right|\le\sum_{n=N+1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{N+1}}{1-\tfrac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^N.
Dado \varepsilon>0, basta escolher N tal que \left(\tfrac{1}{2}\right)^N<\varepsilon. Isso mostra diretamente a definição epsilon-N da convergência uniforme (o N escolhido independe de x).

Resposta

A série converge uniformemente em [-r,r].

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