Verifique que a série converge uniformemente no intervalo [-r, r], sendo r>0 um número fixado. \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 r}\right)^{n} x^{n}.
Aqui usei apenas a desigualdade |x|\le r e propriedades básicas de potências.
Passo 4
Apresentando a ferramenta que vamos usar: o Teste de Weierstrass (M-test). Ele diz o seguinte:
se existem constantes M_n\ge0 tais que |f_n(x)|\le M_n para todo x no domínio considerado e \sum_{n=1}^\infty M_n converge, então a série \sum_{n=1}^\infty f_n(x) converge uniformemente no domínio.\n
Explicando em miúdos: escolhemos uma sequência de limites superiores M_n independentes de x. Se a soma desses M_n converge, então o controle uniforme dado por esses M_n garante que a soma das f_n converge uniformemente.
Passo 5
Aplicando o M-test ao nosso caso: pela estimativa do Passo 3 podemos escolher
M_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n,
pois |f_n(x)|\le M_n para todo x\in[-r,r]. Agora verificamos a soma dos M_n:
Pelo Teste de Weierstrass (Passo 4) com os M_n do Passo 5, concluímos que a série \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge uniformemente em [-r,r].\n
Além disso, como usamos uma majorante por M_n com \sum M_n<\infty, a convergência é também uniformemente absoluta (a série de módulos converge uniformemente).
Passo 7
(Complemento prático — como escolher N para um dado \varepsilon)\n
Se quiser ver o controle da cauda explicitamente: para x\in[-r,r],
Dado \varepsilon>0, basta escolher N tal que \left(\tfrac{1}{2}\right)^N<\varepsilon. Isso mostra diretamente a definição epsilon-N da convergência uniforme (o N escolhido independe de x).