Em cada um dos itens abaixo encontre, se existir, um domínio I \subset \mathbb{R} no qual a sequência f_{n} converge pontualmente para alguma função f.
(1 ponto) f_{n}(x)=\sqrt{\frac{1+n x}{n}}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de funções
f_{n}(x)=\sqrt{\frac{1+n x}{n}}
e pede: encontrar, se existir, um domínio I\subset\mathbb{R} no qual a sequência (f_n) converge pontualmente para alguma função f.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão interna da raiz é \dfrac{1+n x}{n}=\dfrac{1}{n}+x.
  • Cada f_n está definida apenas quando o argumento da raiz é não negativo, ou seja, quando
\frac{1}{n}+x \ge 0 \quad\text{(condição de definição de \(f_n\))}.çãçã

Passo 2

Vamos lembrar, de forma simples, o que significa “convergência pontual” (isso é importante pra saber o que procurar).
  • Dizemos que f_n converge pontualmente para f em um domínio I se, para todo x\in I, o limite \lim_{n\to\infty} f_n(x) existe (é um número real) e iguala f(x).
  • Para fazer sentido falar de "sequência de funções em I", cada f_n precisa estar definida em todo I. Ou seja, I deve ser um subconjunto comum dos domínios de todas as f_n.
Portanto, é natural procurar o maior subconjunto I que esteja contido no domínio de todo f_n (a interseção dos domínios).

Passo 3

Identificar o domínio de cada f_n. A condição de definição \dfrac{1}{n}+x\ge 0 é equivalente a
x \ge -\frac{1}{n}.
Logo o domínio de f_n é \left[-\dfrac{1}{n},\infty\right).
Agora tomamos a interseção de todos esses domínios:
\bigcap_{n=1}^{\infty} \left[-\frac{1}{n},\infty\right].
Observação simples:
  • Se x\ge 0, então para todo n vale x\ge 0 \ge -\dfrac{1}{n}, logo x pertence a todos os domínios.
  • Se x<0, existe N grande tal que -\dfrac{1}{N} > x (porque -1/N\to 0 quando N\to\infty); para esse N temos x< -\dfrac{1}{N}, então x não pertence ao domínio de f_N. Logo x não está na interseção.
Portanto a interseção é exatamente
I=\bigcap_{n=1}^{\infty} \left[-\frac{1}{n},\infty\right]=[0,\infty).

Passo 4

Agora, para qualquer x\in[0,\infty) temos
f_n(x)=\sqrt{x+\frac{1}{n}}.
Queremos calcular \lim_{n\to\infty} f_n(x).
Use uma álgebra direta para mostrar que f_n(x)\to\sqrt{x}. Considere a diferença
\sqrt{x+\frac{1}{n}}-\sqrt{x} =\frac{\left(x+\dfrac{1}{n}\right)-x}{\sqrt{x+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{x}} =\frac{1/n}{\sqrt{x+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{x}}.
No denominador temos soma de raízes não negativas; em particular é maior ou igual a \sqrt{x} (quando x>0) e maior que 0 mesmo quando x=0. Portanto o numerador 1/n tende a 0 e o denominador tende a 2\sqrt{x} (quando x>0) ou a 0 de forma controlada (quando x=0 o numerador já vai a 0 e a expressão inteira vai a 0). Assim
\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{x+\frac{1}{n}}-\sqrt{x}\right)=0,
ou seja
\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\sqrt{x}.
Esse cálculo é uma forma elementar (sem usar teoremas abstratos de continuidade) de ver que f_n(x)\to\sqrt{x} para todo x\ge 0.

Passo 5

Verificação do que acontece para x<0. Para x<0 temos \lim_{n\to\infty}\left(x+\dfrac{1}{n}\right)=x<0. Logo existe N tal que, para todo n\ge N, x+\dfrac{1}{n}<0; isso significa que f_n(x) não está definido (como número real) para todo n suficientemente grande. Assim não há uma sequência de números reais f_n(x) definida para todos os n que tenha limite real; portanto não existe convergência pontual em qualquer ponto x<0.

Passo 6

Conclusão: a maior escolha de domínio I\subset\mathbb{R} onde a sequência (f_n) está definida para todo n e converge pontualmente é I=[0,\infty), e a função limite é f(x)=\sqrt{x} em I. (Observação: qualquer subconjunto de [0,\infty) também funciona, mas a maior escolha é [0,\infty).)

Resposta

I=[0,\infty) e f(x)=\sqrt{x} para x\in I.

Exercícios relacionados