Em cada um dos itens abaixo encontre, se existir, um domínio
no qual a sequência
converge pontualmente para alguma função
.
(1 ponto)
.
(1 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a sequência de funções
e pede: encontrar, se existir, um domínio
no qual a sequência
converge pontualmente para alguma função
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão interna da raiz é
. - Cada
está definida apenas quando o argumento da raiz é não negativo, ou seja, quando
Passo 2
Vamos lembrar, de forma simples, o que significa “convergência pontual” (isso é importante pra saber o que procurar).
- Dizemos que
converge pontualmente para em um domínio se, para todo , o limite existe (é um número real) e iguala . - Para fazer sentido falar de "sequência de funções em
", cada precisa estar definida em todo . Ou seja, deve ser um subconjunto comum dos domínios de todas as .
Portanto, é natural procurar o maior subconjunto
que esteja contido no domínio de todo
(a interseção dos domínios).
Passo 3
Identificar o domínio de cada
. A condição de definição
é equivalente a
Logo o domínio de
é
.
Agora tomamos a interseção de todos esses domínios:
Observação simples:
- Se
, então para todo vale , logo pertence a todos os domínios. - Se
, existe grande tal que (porque quando ); para esse temos , então não pertence ao domínio de . Logo não está na interseção.
Portanto a interseção é exatamente
Passo 4
Agora, para qualquer
temos
Queremos calcular
.
Use uma álgebra direta para mostrar que
. Considere a diferença
No denominador temos soma de raízes não negativas; em particular é maior ou igual a
(quando
) e maior que
mesmo quando
. Portanto o numerador
tende a
e o denominador tende a
(quando
) ou a
de forma controlada (quando
o numerador já vai a
e a expressão inteira vai a
). Assim
ou seja
Esse cálculo é uma forma elementar (sem usar teoremas abstratos de continuidade) de ver que
para todo
.
Passo 5
Verificação do que acontece para
. Para
temos
. Logo existe
tal que, para todo
,
; isso significa que
não está definido (como número real) para todo
suficientemente grande. Assim não há uma sequência de números reais
definida para todos os
que tenha limite real; portanto não existe convergência pontual em qualquer ponto
.
Passo 6
Conclusão: a maior escolha de domínio
onde a sequência
está definida para todo
e converge pontualmente é
, e a função limite é
em
. (Observação: qualquer subconjunto de
também funciona, mas a maior escolha é
.)