Usando o método de Cordas, resolva as equações a seguir com \varepsilon<0.01
f(x)=x^{5}-x-1=0 Int. [1,2] R: 1,13693

Passo 1

O que o enunciado dá e o que é pedido:
  • Dada a equação f(x)=x^{5}-x-1=0.
  • Intervalo inicial fornecido: [1,2].
  • Método exigido: método das cordas (regula falsi).
  • Critério de parada: \varepsilon<0,01. Vou interpretar aqui \varepsilon como a diferença absoluta entre duas aproximações sucessivas da raiz, isto é, parar quando |c_{n}-c_{n-1}|<0,01.
  • O objetivo: encontrar uma aproximação da raiz dentro do intervalo [1,2] usando o método das cordas, até que a diferença entre iterações seja menor que 0,01.

Passo 2

O que é o método das cordas e a fórmula que vamos usar (aulas rápidas, sem enrolação):
  • O método das cordas parte de um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos. Ele aproxima a raiz pela interseção da reta que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x.
  • A fórmula da abscissa da interseção (chamarei de c) é, em forma conveniente,
c = \frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  • Alternativamente, a mesma fórmula pode ser escrita como
c = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
  • Interpretação das variáveis: a e b são os extremos atuais do intervalo; f(a) e f(b) são os valores da função nesses pontos; c é a aproximação obtida na iteração. Depois de calcular c avalia-se f\text{(c)}. Se f\text{(c)} tiver o mesmo sinal que f(a) substitui-se a por c; se tiver o mesmo sinal que f(b) substitui-se b por c. Assim o intervalo continua contendo a raiz.
  • Critério de parada escolhido: parar quando |c_{n}-c_{n-1}|<0,01.

Passo 3

Preparação inicial: calcular f nos extremos dados e verificar o sinal.
  • a_{0}=1,\quad b_{0}=2.
  • Calcular f(1) e f(2):
f(1)=1^{5}-1-1= -1,
f(2)=2^{5}-2-1=32-2-1=29.
  • Observação: f(1)=-1 e f(2)=29 têm sinais opostos, logo existe pelo menos uma raiz em [1,2] e podemos aplicar o método das cordas.

Passo 4

Iteração 1: calcular c_{1}.
  • Aplicando a fórmula:
c_{1}=\frac{a_{0}f(b_{0})-b_{0}f(a_{0})}{f(b_{0})-f(a_{0})} =\frac{1\cdot 29 - 2\cdot(-1)}{29-(-1)}=\frac{29+2}{30}=\frac{31}{30}=1,033333\ldots
  • Avaliar f(c_{1}):
f(c_{1})=(1{,}033333)^{5}-(1{,}033333)-1\approx 1{,}17822-1{,}03333-1\approx -0{,}85511.
  • Como f(c_{1}) é negativo (mesmo sinal que f(a_{0})), substitui-se a_{0} por c_{1}:
a_{1}=c_{1}=1{,}033333,\qquad b_{1}=2.

Passo 5

Iteração 2: calcular c_{2}.
  • Usando a_{1}=1{,}033333, b_{1}=2, f(a_{1})\approx -0{,}85511, f(b_{1})=29:
c_{2}= \frac{a_{1}f(b_{1})-b_{1}f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})} \approx \frac{1{,}033333\cdot 29 - 2\cdot(-0{,}85511)}{29-(-0{,}85511)}\approx 1{,}0608.
  • Avaliar f(c_{2}):
f(c_{2})\approx (1{,}0608)^{5}-(1{,}0608)-1\approx -0{,}71853.
  • Como f(c_{2})<0 (ainda negativo), atualiza-se:
a_{2}=c_{2}=1{,}0608,\qquad b_{2}=2.
  • Diferença entre aproximações: |c_{2}-c_{1}|\approx 1{,}0608-1{,}033333=0{,}0275>0{,}01 — continua.

Passo 6

Iteração 3: calcular c_{3}.
  • Com a_{2}=1{,}0608, b_{2}=2, f(a_{2})\approx -0{,}71853:
c_{3}\approx \frac{1{,}0608\cdot 29 - 2\cdot(-0{,}71853)}{29-(-0{,}71853)}\approx 1{,}0832.
  • Avaliar f(c_{3}):
f(c_{3})\approx (1{,}0832)^{5}-(1{,}0832)-1\approx -0{,}59197.
  • Atualiza-se a (porque f(c_{3})<0):
a_{3}=c_{3}=1{,}0832,\qquad b_{3}=2.
  • Diferença: |c_{3}-c_{2}|\approx 0{,}0224>0{,}01.

Passo 7

Iteração 4: calcular c_{4}.
  • Com a_{3}=1{,}0832, b_{3}=2, f(a_{3})\approx -0{,}59197:
c_{4}\approx \frac{1{,}0832\cdot 29 - 2\cdot(-0{,}59197)}{29-(-0{,}59197)}\approx 1{,}1016.
  • Avaliar f(c_{4}):
f(c_{4})\approx (1{,}1016)^{5}-(1{,}1016)-1\approx -0{,}47931.
  • Atualiza-se a:
a_{4}=c_{4}=1{,}1016,\qquad b_{4}=2.
  • Diferença: |c_{4}-c_{3}|\approx 0{,}0184>0{,}01.

Passo 8

Iteração 5: calcular c_{5}.
  • Com a_{4}=1{,}1016, b_{4}=2, f(a_{4})\approx -0{,}47931:
c_{5}\approx \frac{1{,}1016\cdot 29 - 2\cdot(-0{,}47931)}{29-(-0{,}47931)}\approx 1{,}1157.
  • Avaliar f(c_{5}):
f(c_{5})\approx (1{,}1157)^{5}-(1{,}1157)-1\approx -0{,}3869.
  • Atualiza-se a:
a_{5}=c_{5}=1{,}1157,\qquad b_{5}=2.
  • Diferença: |c_{5}-c_{4}|\approx 0{,}0141>0{,}01.

Passo 9

Iteração 6: calcular c_{6}.
  • Com a_{5}=1{,}1157, b_{5}=2, f(a_{5})\approx -0{,}3869:
c_{6}\approx \frac{1{,}1157\cdot 29 - 2\cdot(-0{,}3869)}{29-(-0{,}3869)}\approx 1{,}1273.
  • Avaliar f(c_{6}):
f(c_{6})\approx (1{,}1273)^{5}-(1{,}1273)-1\approx -0{,}3053.
  • Atualiza-se a:
a_{6}=c_{6}=1{,}1273,\qquad b_{6}=2.
  • Diferença: |c_{6}-c_{5}|\approx 0{,}0116>0{,}01.

Passo 10

Iteração 7: calcular c_{7} e verificar o critério de parada.
  • Com a_{6}=1{,}1273, b_{6}=2, f(a_{6})\approx -0{,}3053:
c_{7}\approx \frac{1{,}1273\cdot 29 - 2\cdot(-0{,}3053)}{29-(-0{,}3053)}\approx 1{,}1362.
  • Avaliar f(c_{7}):
f(c_{7})\approx (1{,}1362)^{5}-(1{,}1362)-1\approx -0{,}2427.
  • Atualiza-se a porque f(c_{7})<0:
a_{7}=c_{7}=1{,}1362,\qquad b_{7}=2.
  • Diferença entre as duas últimas aproximações:
|c_{7}-c_{6}|\approx 1{,}1362-1{,}1273=0{,}0089<0{,}01.
  • Portanto o critério de parada |c_{n}-c_{n-1}|<0,01 foi satisfeito na iteração 7.

Resposta

1,1362

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