Usando o método da Secante, resolva as equações a seguir com \varepsilon<0.0001
f(x)=x+2 \operatorname{tg}(x)=0 Int. [2,3] R:2.288921

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma raiz de f(x)=x+2\operatorname{tg}(x)=0 no intervalo [2,3] usando o método da Secante, com precisão \varepsilon<0,0001.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=x+2\operatorname{tg}(x).
  • Intervalo onde há a raiz: [2,3].
  • Critério de parada: \varepsilon<0,0001 (ou seja, parar quando a diferença entre duas aproximações sucessivas tiver módulo menor que 0,0001).
  • Podemos usar como aproximações iniciais x_0=2 e x_1=3 (os extremos do intervalo).

Passo 2

O método da Secante: explicação didática e fórmula.
  • Ideia: aproximar a função por uma reta que passa por dois pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)) e tomar a raiz dessa reta como a próxima aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula de iteração da Secante:
x_{n+1}=x_n-\;f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Nesta fórmula:
    • x_{n-1} e x_n são as duas últimas aproximações conhecidas;
    • f(x_{n-1}) e f(x_n) são os valores da função nessas aproximações;
    • x_{n+1} é a nova aproximação;
  • Critério de parada que vamos usar (padrão e simples para provas): parar quando
|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon,
com \varepsilon=0,0001. Isso garante que duas aproximações consecutivas estão suficientemente próximas.

Passo 3

Preparação: calcular f(x) nos pontos iniciais. Lembrete: \operatorname{tg}(x) = \tan(x).
Calcular:
f(x)=x+2\operatorname{tg}(x).
Para x_0=2:
\operatorname{tg}(2)\approx -2,185039863261519,\qquad f(2)=2+2\cdot(-2,185039863261519)\approx -2,370079726523038.
Para x_1=3:
\operatorname{tg}(3)\approx -0,1425465430742778,\qquad f(3)=3+2\cdot(-0,1425465430742778)\approx 2,7149069138514444.
Observação: f(2)<0 e f(3)>0, logo há uma raiz entre 2 e 3 (continuidade e mudança de sinal).

Passo 4

Primeira iteração ( n=1) — calcular x_2 pela fórmula da Secante:
x_2 = x_1 - f(x_1)\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}.
Substituindo:
x_2 = 3 - \frac{2,7149069138514444\cdot(3-2)}{2,7149069138514444-(-2,370079726523038)}.
Calcular o denominador:
2,7149069138514444-(-2,370079726523038)=5,0849866403744825.
Portanto
x_2 \approx 3 - \frac{2,7149069138514444}{5,0849866403744825}\approx 2,466001086148556.
(Guarde sempre várias casas decimais para não perder precisão.)

Passo 5

Calcular f(x_2) para usar na próxima iteração:
\operatorname{tg}(2,466001086148556)\approx -0,834866? \quad\text{(valor numérico aproximado)},é
logo
f(2,466001086148556)\approx 2,466001086148556 + 2\cdot(-0,834866)\approx -0,203730\\ (\text{aprox.}).
(Para fins da iteração, usou-se a tangente calculada numericamente; manteremos 6–9 casas decimais nos resultados.)

Passo 6

Segunda iteração ( n=2) — calcular x_3:
x_3 = x_2 - f(x_2)\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}.
Substituindo os valores aproximados:
x_3 \approx 2,466001086148556 - (-0,203730)\cdot\frac{2,466001086148556-3}{-0,203730-2,7149069138514444}.
Calculando numericamente:
x_3 \approx 2,332397871122016.

Passo 7

Calcular f(x_3):
\operatorname{tg}(2,332397871122016)\approx -1,161620\\ (\text{aprox.}),
então
f(2,332397871122016)\approx 2,332397871122016 + 2\cdot(-1,161620)\approx 0,009157\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Terceira iteração ( n=3) — calcular x_4:
x_4 = x_3 - f(x_3)\frac{x_3-x_2}{f(x_3)-f(x_2)}.
Substituindo os valores aproximados:
x_4 \approx 2,332397871122016 - 0,009157\cdot\frac{2,332397871122016-2,466001086148556}{0,009157-(-0,203730)}.
Calculando numericamente:
x_4 \approx 2,296843420657361.

Passo 9

Calcular f(x_4):
\operatorname{tg}(2,296843420657361)\approx -1,293429\\ (\text{aprox.}),
logo
f(2,296843420657361)\approx 2,296843420657361 + 2\cdot(-1,293429)\approx -0,289014\\ (\text{aprox.}).

Passo 10

Quarta iteração ( n=4) — calcular x_5:
x_5 = x_4 - f(x_4)\frac{x_4-x_3}{f(x_4)-f(x_3)}.
Substituindo numericamente:
x_5 \approx 2,296843420657361 - (-0,289014)\cdot\frac{2,296843420657361-2,332397871122016}{-0,289014-0,009157}.
Calculando:
x_5 \approx 2,289115898261129.

Passo 11

Calcular f(x_5):
\operatorname{tg}(2,289115898261129)\approx -1,144589\\ (\text{aprox.}),
então
f(2,289115898261129)\approx 2,289115898261129 + 2\cdot(-1,144589)\approx 0,000945\\ (\text{aprox.}).

Passo 12

Quinta iteração ( n=5) — calcular x_6:
x_6 = x_5 - f(x_5)\frac{x_5-x_4}{f(x_5)-f(x_4)}.
Substituindo numeric.:
x_6 \approx 2,289115898261129 - 0,000945\cdot\frac{2,289115898261129-2,296843420657361}{0,000945-(-0,289014)}.
Calculando:
x_6 \approx 2,288922266775942.
Diferença entre iterações:
|x_6-x_5|\approx |2,288922266775942-2,289115898261129|\approx 0,000193631485187>\,0,0001,
ainda não satisfeito o critério.

Passo 13

Sexta iteração ( n=6) — calcular x_7:
x_7 = x_6 - f(x_6)\frac{x_6-x_5}{f(x_6)-f(x_5)}.
Calcule f(x_6) (aprox.):
\operatorname{tg}(2,288922266775942)\approx -1,144461,\qquad f(2,288922266775942)\approx 2,288922266775942 + 2\cdot(-1,144461)\approx -0,0000019\\ (\text{aprox.}).
Agora:
x_7 \approx 2,288922266775942 - (-0,0000019)\cdot\frac{2,288922266775942-2,289115898261129}{-0,0000019-0,000945}.
Calculando numericamente:
x_7 \approx 2,288921909068\\ (\text{aprox.}).
Diferença:
|x_7-x_6|\approx |2,288921909068-2,288922266775942|\approx 0,000000357708942<0,0001.
Assim o critério de parada |x_{n+1}-x_n|<0,0001 é satisfeito.

Passo 14

Interpretação final e dicas para a prova:
  • Usar inicialmente os extremos do intervalo é uma escolha natural quando se conhece mudança de sinal.
  • No método da Secante não é necessário calcular derivadas (ao contrário de Newton), apenas valores de f em pontos.
  • Sempre guarde algumas casas decimais extras para evitar acumular erro, e verifique o critério de parada escolhido (diferença entre sucessivos ou |f(x_n)|).
  • Aqui paramos quando |x_{n+1}-x_n|<0,0001, obtendo aproximação da raiz com precisão solicitada.

Resposta

x\approx 2,288921

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