Usando o método da Secante, resolva as equações a seguir com
Int. [2,3] R:2.288921
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma raiz de
no intervalo
usando o método da Secante, com precisão
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo onde há a raiz:
. - Critério de parada:
(ou seja, parar quando a diferença entre duas aproximações sucessivas tiver módulo menor que ). - Podemos usar como aproximações iniciais
e (os extremos do intervalo).
Passo 2
O método da Secante: explicação didática e fórmula.
- Ideia: aproximar a função por uma reta que passa por dois pontos
e e tomar a raiz dessa reta como a próxima aproximação . - Fórmula de iteração da Secante:
- Nesta fórmula:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas; -
e são os valores da função nessas aproximações; -
é a nova aproximação;
-
- Critério de parada que vamos usar (padrão e simples para provas): parar quando
com
. Isso garante que duas aproximações consecutivas estão suficientemente próximas.
Passo 3
Preparação: calcular
nos pontos iniciais. Lembrete:
=
.
Calcular:
Calcular:
Para
:
Para
:
Observação:
e
, logo há uma raiz entre
e
(continuidade e mudança de sinal).
Passo 4
Primeira iteração (
) — calcular
pela fórmula da Secante:
Substituindo:
Calcular o denominador:
Portanto
(Guarde sempre várias casas decimais para não perder precisão.)
Passo 5
Calcular
para usar na próxima iteração:
logo
(Para fins da iteração, usou-se a tangente calculada numericamente; manteremos 6–9 casas decimais nos resultados.)
Passo 6
Segunda iteração (
) — calcular
:
Substituindo os valores aproximados:
Calculando numericamente:
Passo 7
Calcular
:
então
Passo 8
Terceira iteração (
) — calcular
:
Substituindo os valores aproximados:
Calculando numericamente:
Passo 9
Calcular
:
logo
Passo 10
Quarta iteração (
) — calcular
:
Substituindo numericamente:
Calculando:
Passo 11
Calcular
:
então
Passo 12
Quinta iteração (
) — calcular
:
Substituindo numeric.:
Calculando:
Diferença entre iterações:
ainda não satisfeito o critério.
Passo 13
Sexta iteração (
) — calcular
:
Calcule
(aprox.):
Agora:
Calculando numericamente:
Diferença:
Assim o critério de parada
é satisfeito.
Passo 14
Interpretação final e dicas para a prova:
- Usar inicialmente os extremos do intervalo é uma escolha natural quando se conhece mudança de sinal.
- No método da Secante não é necessário calcular derivadas (ao contrário de Newton), apenas valores de
em pontos. - Sempre guarde algumas casas decimais extras para evitar acumular erro, e verifique o critério de parada escolhido (diferença entre sucessivos ou
). - Aqui paramos quando
, obtendo aproximação da raiz com precisão solicitada.