Em cada um dos itens abaixo, encontre o polinômio de Taylor de grau n da função f em torno de x_{0}.
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, \quad n=2, \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=2 da função
f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}
em torno de x_{0}=0.
O conteúdo usado será a definição do polinômio de Taylor, que envolve as derivadas de f avaliadas em x_{0}.

Passo 2

A fórmula do polinômio de Taylor de grau 2 centrado em x_{0}=0 é
T_{2}(x)=\sum_{k=0}^{2}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^{k} =\;f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2}\,x^{2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f e avaliamos em 0.
Primeiro,
f(0)=\frac{1}{1+0^{2}}=1.
Em seguida,
f'(x)=-2x\,(1+x^{2})^{-2} \quad\Longrightarrow\quad f'(0)=0.
Por fim, derivando novamente,
f''(x) =-2\,(1+x^{2})^{-2} +(-2x)\cdot(-2)(1+x^{2})^{-3}\cdot2x =-2(1+x^{2})^{-2}+8x^{2}(1+x^{2})^{-3},
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f''(0)=-2.

Passo 4

Substituindo em
T_{2}(x)=f(0)+f'(0)\,x+\frac{f''(0)}{2}\,x^{2}
temos
T_{2}(x)=1+0\cdot x+\frac{-2}{2}\,x^{2} =1 - x^{2}.

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 2 é
T_{2}(x)=1 - x^{2}.

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