Em cada um dos itens abaixo encontre a solução geral da equação diferencial.
(y^2 cos x-3 x^2 y-2 x) d x+(2 y sen x-x^3+ln y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial $ (y^{2} \cos x - 3x^{2}y - 2x),dx + (2y\sin x - x^{3} + \ln y),dy = 0 $. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, e vamos usar o teste de exatidão e construir uma função potencial (y^2 cos x - 3x^2y - 2x),dx + (2ysin x - x^3 + ln y),dy = 0 .

Passo 2

Primeiro, identificamos M(x,y)=y^2cos x - 3x^2y - 2x e N(x,y)=2ysin x - x^3 + ln y e conferimos a exatidão: calculamos partial M/partial y = 2ycos x - 3x^2 e partial N/partial x = 2ycos x - 3x^2. Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Em seguida, integramos M em relação a x para obter uma função psi(x,y) (mais uma função desconhecida h(y)):
psi(x,y)=integral (y^2cos x -3x^2y -2x),dx = y^2sin x - x^3y - x^2 + h(y)
Para determinar h(y), derivamos psi em relação a y e igualamos a N:
partialpsipartial y=2ysin x - x^3 + h'(y) ,=,2ysin x - x^3 + ln y
Daí vem h'(y)=ln y, logo
h(y)=yln y - y + constante

Resposta

y^{2}\sin x - x^{3}y - x^{2} + y\ln y - y = C

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