Verifique que as equaçôes abaixo năo são exatas.
2 y^2+2 yx+(2 x y+2+yx) d yd x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação dada não é exata. Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais e condições de exatidão. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação na forma diferencial padrão e calcular algumas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. A equação original é:
2 y^2 + 2 yx + (2 x y + 2 + yx) dydx = 0
Vamos isolar dydx:
(2 x y + 2 + yx) dydx = -(2 y^2 + 2 yx)
Dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica dydx:
dydx = -2 y^2 + 2 yx2 x y + 2 + yx
Agora, reorganizamos a equação para termos M dx + N dy = 0:
(2 y^2 + 2 yx) dx + (2 x y + 2 + yx) dy = 0

Passo 3

Identificamos agora as funções M(x,y) e N(x,y):
M(x,y) = 2 y^2 + 2 yx
N(x,y) = 2 x y + 2 + yx

Passo 4

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x.
Primeiro, vamos calcular partial Mpartial y:
partial Mpartial y = partialpartial y (2 y^2 + 2 yx) = 4 y + 2x
Agora, calculamos partial Npartial x:
partial Npartial x = partialpartial x (2 x y + 2 + yx) = 2 y - yx^2

Passo 5

Comparamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4 y + 2x
partial Npartial x = 2 y - yx^2
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a condição de exatidão não é satisfeita.

Resposta

A equação dada não é exata porque partial Mpartial y é diferente de partial Npartial x.

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