Verifique que as equaçôes abaixo năo são exatas.
x+(x^2 y+4 y) d yd x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial $ x + \left(x^{2} y + 4 y\right) \frac{dy}{dx} = 0 $ é exata ou não. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que são aquelas que podem ser escritas na forma $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ e satisfazem a condição $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $. Vamos precisar identificar as funções $ M $ e $ N $ e verificar essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $. Temos:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Aqui, identificamos que:
x , dx + (x^2 y + 4 y) dy = 0
M(x,y) = x

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de exatidão. Primeiro, a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $:
M
Em seguida, a derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $:
y

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas parciais que encontramos:
partial Mpartial y = 0
partial Npartial x = 2x y
Para a equação ser exata, essas duas derivadas deveriam ser iguais. Mas aqui vemos que $ 0 $ não é igual a $ 2x y $.

Resposta

Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, concluímos que a equação $ x + \left(x^{2} y + 4 y\right) \frac{dy}{dx} = 0 $ não é exata.

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