Verifique que as equaçôes abaixo năo são exatas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial $ x + \left(x^{2} y + 4 y\right) \frac{dy}{dx} = 0 $ é exata ou não. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que são aquelas que podem ser escritas na forma $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ e satisfazem a condição $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $. Vamos precisar identificar as funções $ M $ e $ N $ e verificar essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada na forma $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $. Temos:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar a condição de exatidão. Primeiro, a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $:
Em seguida, a derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas parciais que encontramos:
Para a equação ser exata, essas duas derivadas deveriam ser iguais. Mas aqui vemos que $ 0 $ não é igual a $ 2x y $.
Resposta
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, concluímos que a equação $ x + \left(x^{2} y + 4 y\right) \frac{dy}{dx} = 0 $ não é exata.