Em cada um dos itens abaixo, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
F(s)=\frac{3}{s^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace inversa da função F(s)=\dfrac{3}{s^{2}+4}.
Informações dadas:
  • A função no domínio de s é F(s)=\dfrac{3}{s^{2}+4}.
  • Quer-se a função no domínio do tempo (variável t) cuja transformada de Laplace é F(s).

Passo 2

Lembrete útil (fórmula básica que vou usar). A transformada de Laplace de \sin(at) é
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
onde:
  • \mathcal{L}\{\cdot\} denota a transformada de Laplace,
  • a>0 é uma constante,
  • s é a variável complexa do domínio de Laplace,
  • t é a variável do domínio do tempo (normalmente t\ge0).
Também vou usar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace: se c é constante, então
\mathcal{L}\{c\,f(t)\}(s)=c\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
A linearidade permite fatorar constantes fora da transformada/inversa.

Passo 3

Identificar o parâmetro a em s^{2}+a^{2}. No denominador temos s^{2}+4, logo
a^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad a=2.
A forma padrão para usar a fórmula é \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. Então reescrevo F(s) de modo a expor esse numerador a:
F(s)=\frac{3}{s^{2}+4}=\frac{3}{s^{2}+2^{2}}.
Agora escrevo F(s) como uma constante vezes \dfrac{2}{s^{2}+2^{2}}, porque \dfrac{2}{s^{2}+2^{2}} corresponde à transformada de \sin(2t):
\frac{3}{s^{2}+2^{2}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{s^{2}+2^{2}}.

Passo 4

Usando a tabela/fórmula \mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s)=\dfrac{2}{s^{2}+2^{2}} e a linearidade, a transformada inversa é
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t)=\frac{3}{2}\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s^{2}+2^{2}}\right\}(t)=\frac{3}{2}\sin(2t).
Portanto a função no domínio do tempo é \dfrac{3}{2}\sin(2t), para t\ge0.

Passo 5

Verificação rápida (opcional, mas bom para checar): calculando a transformada de Laplace de \dfrac{3}{2}\sin(2t),
\mathcal{L}\left\{\frac{3}{2}\sin(2t)\right\}(s)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{s^{2}+2^{2}}=\frac{3}{s^{2}+4},
que é exatamente F(s). Confere.

Resposta

\dfrac{3}{2}\sin(2t)

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