Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)= \begin{cases}t & \text { se } 0 \leq t<1 \\\\ 0 & \text { se } 1 \leq t<\infty\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)\) definida por partes: \[f(t)= \begin{cases}t & \text{se } 0 \leq t<1,\\[4pt] 0 & \text{se } 1 \leq t<\infty.\end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • f(t)=t\] para \(t em [0,1).
  • f(t)=0 para t\ge 1.
  • A transformada de Laplace a ser encontrada é \mathcal{L}\{f\}(s).]

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição da transformada de Laplace e o que é s.
A transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge 0) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt,
onde s é uma variável complexa; para funções como polinômios multiplicados por expoente negativo, a integral converge para todos os s com parte real suficientemente grande. Aqui, como f(t) é limitada e de suporte em [0,1], a integral converge para todos os s com \Re(s)>0 (na prática vamos assumir s>0 real para simplificar as contas).

Passo 3

Usar a definição e a forma em partes de f(t). Como f(t)=t somente entre 0 e 1 e é zero depois, a integral sobre [0,\infty) reduz-se a uma integral sobre [0,1]:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt=\int_{0}^{1} t\,e^{-st}\,dt.
Agora calcularemos essa integral.

Passo 4

Vamos calcular \displaystyle I(s)=\int_{0}^{1} t\,e^{-st}\,dt usando integração por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolha prática:
  • u=t (então du=dt),
  • dv=e^{-st}\,dt (então v=\displaystyle -\frac{1}{s}e^{-st}, porque \frac{d}{dt}\big(-\tfrac{1}{s}e^{-st}\big)=e^{-st}).

Passo 5

Aplicando integração por partes:
I(s)=\left. u v\right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v\,du = \left. -\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\,dt.
Avaliaremos os termos um a um.
Avaliação do primeiro termo:
\left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{1} = -\frac{1}{s}e^{-s} - \left(-\frac{0}{s}e^{0}\right)= -\frac{e^{-s}}{s}.
O segundo termo é
- \int_{0}^{1}\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt.
Calcule a integral simples:
\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt = \left.-\frac{1}{s}e^{-st}\right|_{0}^{1} = -\frac{e^{-s}}{s} + \frac{1}{s} = \frac{1-e^{-s}}{s}.
Multiplicando por \tfrac{1}{s} obtemos
\frac{1}{s}\int_{0}^{1} e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1-e^{-s}}{s} = \frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.
Juntando os termos:
I(s)= -\frac{e^{-s}}{s} + \frac{1-e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 6

Simplificar I(s) para uma forma mais compacta. Colocando tudo sobre o denominador comum s^{2}:
I(s)=\frac{-e^{-s}s + 1 - e^{-s}}{s^{2}} = \frac{1 - e^{-s}(s+1)}{s^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1 - e^{-s}(s+1)}{s^{2}},
com região de convergência \Re(s)>0 (para s real: s>0). Boa! Essa é a transformada que vai direto na prova — lembra que a ideia foi reduzir a integral ao intervalo onde f é não nula e aplicar integração por partes.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1 - e^{-s}(s+1)}{s^{2}}

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