Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas (sem assumir nada além do enunciado): e
são constantes (podem ser reais) e a transformada de Laplace que queremos é a função
definida por uma integral impropria em
. O objetivo é calcular explicitamente
e indicar a região de convergência em
.
Informações dadas (sem assumir nada além do enunciado):
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. Para uma função
(definida para
) a transformada de Laplace é
Aqui
é a variável do tempo (real e não negativa) e
é a variável complexa da transformada. A integral converge em uma região do plano complexo; normalmente precisamos de
maior que algum valor para que a exponencial
anule o crescimento da função.
Passo 3
Estratégia conveniente: usar a propriedade de deslocamento no plano
. Se
então, para qualquer constante
,
Justificativa rápida: aplicar a definição
Portanto basta calcular
e depois substituir
por
.
Passo 4
Calcular
. Método via exponencial complexa (é curto e direto). Usar
. Considere a integral complexa
Essa integral converge se
e dá
A parte imaginária dessa expressão é exatamente
. Agora escrevemos
cuja parte imaginária (para
real este raciocínio é direto; estendendo por continuidade vale para
) é
Portanto
Passo 5
Aplicar a propriedade de deslocamento (Passo 3). Substituir
por
na transformada de
. Resultado:
Condição de convergência: a integral usada para obter
pedia
; após substituir
a condição vira
, ou seja
.
Passo 6
Pequena checagem mental (para me deixar confiante na prova): se
recupero
. Se
a função é zero e a fórmula dá zero. Tudo coerente.