Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=e^{a t} \sin b t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=e^{a t}\sin b t.
Informações dadas (sem assumir nada além do enunciado): a e b são constantes (podem ser reais) e a transformada de Laplace que queremos é a função F(s) definida por uma integral impropria em t. O objetivo é calcular explicitamente F(s)=\mathcal{L}\{e^{a t}\sin b t\}(s) e indicar a região de convergência em s.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. Para uma função g(t) (definida para t\ge0) a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} g(t)\,dt.
Aqui t é a variável do tempo (real e não negativa) e s é a variável complexa da transformada. A integral converge em uma região do plano complexo; normalmente precisamos de \operatorname{Re}(s) maior que algum valor para que a exponencial e^{-s t} anule o crescimento da função.

Passo 3

Estratégia conveniente: usar a propriedade de deslocamento no plano s. Se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s) então, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a).
Justificativa rápida: aplicar a definição
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} g(t)\,dt=G(s-a).
Portanto basta calcular G(s)=\mathcal{L}\{\sin b t\}(s) e depois substituir s por s-a.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{\sin b t\}(s). Método via exponencial complexa (é curto e direto). Usar \sin b t=\Im(e^{i b t}). Considere a integral complexa
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{i b t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i b)t}\,dt.
Essa integral converge se \operatorname{Re}(s)>0 e dá
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i b)t}\,dt=\frac{1}{s-i b}.
A parte imaginária dessa expressão é exatamente \mathcal{L}\{\sin b t\}(s). Agora escrevemos
\frac{1}{s-i b}=\frac{s+i b}{s^{2}+b^{2}},
cuja parte imaginária (para s real este raciocínio é direto; estendendo por continuidade vale para \operatorname{Re}(s)>0) é
\Im\!\left(\frac{1}{s-i b}\right)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{\sin b t\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 5

Aplicar a propriedade de deslocamento (Passo 3). Substituir s por s-a na transformada de \sin b t. Resultado:
\mathcal{L}\{e^{a t}\sin b t\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Condição de convergência: a integral usada para obter \mathcal{L}\{\sin b t\}(s) pedia \operatorname{Re}(s)>0; após substituir s\mapsto s-a a condição vira \operatorname{Re}(s-a)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>a.

Passo 6

Pequena checagem mental (para me deixar confiante na prova): se a=0 recupero \mathcal{L}\{\sin b t\}=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}}. Se b=0 a função é zero e a fórmula dá zero. Tudo coerente.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{a t}\sin b t\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>a

Exercícios relacionados