Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de
para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor de contorno envolvendo a equação diferencial $ y’’ + \lambda y = 0 $. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de $ \lambda $ para os quais essa equação tem soluções que não sejam apenas a solução trivial (ou seja, $ y = 0 $). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais ordinárias e condições de contorno. Vamos dividir isso em passos para ficar mais fácil de acompanhar!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial geral $ y’’ + \lambda y = 0 $. Dependendo do sinal de $ \lambda $, a solução muda. Existem três casos:
- $ \lambda > 0 $: A solução envolve funções trigonométricas.
- $ \lambda = 0 $: A solução é uma combinação linear de funções lineares.
- $ \lambda < 0 $: A solução envolve funções exponenciais.
Vamos explorar cada caso para ver qual deles atende às nossas condições de contorno.
Passo 3
Vamos começar assumindo $ \lambda > 0 $. Nesse caso, podemos reescrever a equação como $ y’’ + \lambda y = 0 $, e a solução geral é:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno dadas.
Passo 4
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno: $ y’(0) = 0 $. Primeiro, calculamos a derivada de $ y(x) $:
Aplicando $ x = 0 $:
Isso implica que $ B = 0 $, já que $ \lambda > 0 $. Então, a solução simplifica para:
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno: $ y(L) = 0 $. Substituindo $ x = L $ na solução simplificada:
Para que isso seja verdade (e $ A $ não seja zero, já que queremos soluções não triviais), precisamos que $ \cos(\sqrt{\lambda} L) = 0 $.
Passo 6
Sabemos que $ \cos(\theta) = 0 $ quando $ \theta = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é um número inteiro. Portanto:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Onde $ n = 0, 1, 2, ··· $
Passo 7
Portanto, os valores de $ \lambda $ que satisfazem as condições de contorno são:
E as soluções correspondentes são:
Onde $ A_n $ é uma constante arbitrária (pode ser determinada se houver mais condições).
Passo 8
Para completar, vamos resumir o que encontramos:
- Determinamos que $ \lambda $ deve ser da forma $ \lambda_n = \frac{(2n + 1)^2 \pi2}{4L2} $ para que existam soluções não triviais.
- As soluções associadas são funções cosseno com frequências específicas, dadas por $ y_n(x) = A_n \cos\left( \frac{(2n + 1)\pi x}{2L} \right) $.
Resposta
Os valores de $ \lambda $ que permitem soluções não triviais são
As soluções correspondentes são
onde $ A_n $ é uma constante arbitrária.