Questão 1.- (2,0 pontos) Usando a definição da integral (somas de Riemann) calcule
0,1
integral0^a sin x d x

Passo 1

Neste exercício queremos usar a definição de integral por somas de Riemann para calcular a integral de
integral0^asin x,dx
Vamos precisar de conceitos de subdivisão do intervalo, soma de Riemann, soma finita de senos e limite.

Passo 2

Subdividimos o intervalo [0,a] em n partes iguais de comprimento
De
Escolhemos como pontos de amostragem os extremos direitos:
xi = i,De
para i=1,2,dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann aproximada fica
Sn = sumi=1^nsin(xi),De
Substituindo xi, obtemos
Sn = an sumi=1^n sinl(itfracanr)

Passo 4

Para somar sin(itheta) usamos a identidade de soma finita:
sumi=1^nsin(itheta) = sinl(tfracntheta2r),sinl(tfrac(n+1)theta2r)sinl(tfractheta2r),
com theta = a/n. Assim reescrevemos Sn de forma fechada.

Passo 5

Tomamos o limite n to infty de Sn. Usando sin(tfraca2n)simtfraca2n e que sin(tfrac(n+1)a2n)tosin(tfraca2), mostra-se que
limntoinfty Sn = 2sin^2l(tfraca2r)

Passo 6

Finalmente, aplicamos a identidade trigonométrica
2sin^2(x)=1-cos(2x)
com x=tfraca2 para reescrever
2sin^2l(tfraca2r)=1-cos(a)

Resposta

1 - cos(a)

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