Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em
.
;
Passo 1
Nesse exercício a gente tem a função
e o ponto de expansão
. O objetivo é encontrar o polinômio de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 em
. Para isso vamos usar a fórmula de Taylor multivariada, que exige as derivadas parciais de primeira e segunda ordem avaliadas no ponto.
Passo 2
Primeiro, calculamos o valor da função e as derivadas parciais de primeira ordem em
:
Avaliando em
:
Passo 3
O polinômio de Taylor de ordem 1 em
é dado por
Substituindo os valores, obtemos
Passo 4
Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem:
Em
:
Passo 5
O polinômio de Taylor de ordem 2 em
adiciona o termo quadrático:
Substituindo, fica
Resposta
Os polinômios de Taylor em
são: