Para cada função abaixo calcule os polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em p.
g(x, y)=e^5 x+y, p=(0,1);

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a função g(x,y)=e^5x+y e o ponto de expansão p=(0,1). O objetivo é encontrar o polinômio de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 em p. Para isso vamos usar a fórmula de Taylor multivariada, que exige as derivadas parciais de primeira e segunda ordem avaliadas no ponto.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor da função e as derivadas parciais de primeira ordem em p:
g(p)=e^5cdot0+1=1+1=2,
partial gpartial x(x,y)=5e^5x, partial gpartial y(x,y)=1
Avaliando em p:
partial gpartial x(0,1)=5e^0=5, partial gpartial y(0,1)=1

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 1 em p é dado por
T1(x,y)=g(p)+gx(p)(x-0)+gy(p)(y-1)
Substituindo os valores, obtemos
T1(x,y)=2+5x+1,(y-1)=1+5x+y

Passo 4

Agora vamos às derivadas parciais de segunda ordem:
partial^2 gpartial x^2(x,y)=25e^5x, partial^2 gpartial xpartial y(x,y)=0, partial^2 gpartial y^2(x,y)=0
Em p:
partial^2 gpartial x^2(0,1)=25, partial^2 gpartial xpartial y(0,1)=0, partial^2 gpartial y^2(0,1)=0

Passo 5

O polinômio de Taylor de ordem 2 em p adiciona o termo quadrático:
T2(x,y)=T1(x,y)+tfrac12l(gxx(p)(x-0)^2+2gxy(p)(x-0)(y-1)+gyy(p)(y-1)^2r)
Substituindo, fica
T2(x,y)=1+5x+y+tfrac12l(25x^2+0+0r) =1+5x+y+252x^2

Resposta

Os polinômios de Taylor em p=(0,1) são:
T1(x,y)=1+5x+y
T2(x,y)=1+5x+y+tfrac252x^2

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