Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y=0 \\\ y^{\prime}(0)=1, y^{\prime}(\pi)=0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor de contorno
y'' + 2y = 0, \quad y'(0)=1, \quad y'(\pi)=0.
O conteúdo aqui é solução de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, seguida da imposição de condições de contorno nas derivadas.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm i\sqrt{2}.
Logo a solução geral é
y(x) = C_1\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + C_2\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr).

Passo 3

Derivando y(x), obtemos
y'(x) = -C_1\sqrt{2}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + C_2\sqrt{2}\,\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr).
Impondo y'(0)=1, temos
y'(0) = C_2\sqrt{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Agora impomos y'(\pi)=0:
y'(\pi) = -C_1\sqrt{2}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2}\,\cos\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr) = 0.
Isto é,
- C_1\sqrt{2}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr) + \cos\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = \frac{\cos\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr)}{\sqrt{2}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr)}.
Como \sin(\sqrt{2}\,\pi)\neq0, essa expressão é bem definida.

Passo 5

Concluímos que existe solução única do problema de contorno, com
C_1 = \frac{\cos\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr)}{\sqrt{2}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr)}, \quad C_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto,
y(x) = \frac{\cos\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr)}{\sqrt{2}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr)} \;\cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + \frac{1}{\sqrt{2}}\;\sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr).

Resposta

y(x) = \frac{\cos\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr)}{\sqrt{2}\,\sin\bigl(\sqrt{2}\,\pi\bigr)} \cos\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr) + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr).

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