Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(\pi)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno envolvendo a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + y = 0
com as condições de contorno
y(0)=0,\quad y'(\pi)=1.
O que vamos usar é a teoria de equações lineares com coeficientes constantes: primeiro achamos a solução geral e depois impomos as condições de contorno para determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica associada a
y'' + y = 0
é
r^2 + 1 = 0,
cuja soluções são r = \pm i. Assim, a solução geral é
y(x) = A\cos(x) + B\sin(x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Aplicando a condição y(0)=0, substituímos x=0 em y(x):
y(0) = A\cos(0) + B\sin(0) = A\cdot1 + B\cdot0 = A.
Como y(0)=0, segue A=0. Logo
y(x) = B\sin(x).

Passo 4

Agora precisamos da derivada
y'(x) = B\cos(x).
Impondo y'(\pi)=1
y'(\pi) = B\cos(\pi) = B\cdot(-1) = -B = 1
portanto
B = -1.

Passo 5

Substituindo B=-1 na expressão de y(x) obtemos
y(x) = -\sin(x).
Esse y(x) satisfaz tanto a equação y''+y=0 quanto as condições y(0)=0 e y'(\pi)=1. Logo, existe solução única.

Resposta

A solução do problema de valor de contorno é
y(x) = -\sin(x).

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