Em cada um dos itens abaixo, esboce a representação geométrica da região limitada, que chamaremos de
, contida no plano
, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das equações dadas. Além disso, determine, usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido gerado ppela rotação da região
, em torno do eixo indicado.
(e)
e o eixo
;
(e)
Passo 1
O enunciado pede a região
no plano
limitada pela curva
, pela reta
e pelo eixo
, e o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
, usando o método das cascas cilíndricas. A curva pode ser reescrita como
que é uma parábola abrindo para a direita, com vértice em
e que cruza a reta
em
. O segmento do eixo
considerado vai de
a
.
Passo 2
Para usar cascas cilíndricas, adotamos tiras horizontais em altura genérica
. A partir de
vemos que a região
é descrita por
Passo 3
Numa casca em altura
, o raio até o eixo
é
e a altura da casca (distância em ) é
e a altura da casca (distância em
Passo 4
Pelo método das cascas cilíndricas, o volume vale
Passo 5
Calculando a integral:
Portanto
Resposta
O volume gerado pela rotação de
em torno do eixo
é
.