Em cada um dos itens abaixo, esboce a representação geométrica da região limitada, que chamaremos de R, contida no plano x y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das equações dadas. Além disso, determine, usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido gerado ppela rotação da região R, em torno do eixo indicado.
(e) y=\sqrt{x+4}, x=0 e o eixo x;

Passo 1

O enunciado pede a região R no plano xy limitada pela curva y=\sqrt{x+4}, pela reta x=0 e pelo eixo x, e o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x, usando o método das cascas cilíndricas. A curva pode ser reescrita como
x=y^2-4,
que é uma parábola abrindo para a direita, com vértice em (-4,0) e que cruza a reta x=0 em (0,2). O segmento do eixo x considerado vai de (-4,0) a (0,0).

Passo 2

Para usar cascas cilíndricas, adotamos tiras horizontais em altura genérica y. A partir de
y=\sqrt{x+4} \quad\Longrightarrow\quad x=y^2-4,
vemos que a região R é descrita por
0\le y\le 2, \qquad y^2-4 \le x \le 0.

Passo 3

Numa casca em altura y, o raio até o eixo x é r=y
e a altura da casca (distância em x) é
h = x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}} =0 - (y^2-4) =4 - y^2.

Passo 4

Pelo método das cascas cilíndricas, o volume vale
V = 2\pi \int_{y=0}^{2} r\,h\,dy =2\pi \int_{0}^{2} y\,(4 - y^2)\,dy.

Passo 5

Calculando a integral:
\int_{0}^{2} y\,(4 - y^2)\,dy =\int_{0}^{2} (4y - y^3)\,dy =\Bigl[2y^2 - \tfrac{y^4}{4}\Bigr]_{0}^{2} =8 - 4 =4.
Portanto
V = 2\pi \times 4 = 8\pi.

Resposta

O volume gerado pela rotação de R em torno do eixo x é 8\pi.

Exercícios relacionados