Em cada um dos itens abaixo, esboce a representação geométrica da região limitada, que chamaremos de R, contida no plano x y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das equações dadas. Além disso, determine, usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido gerado ppela rotação da região R, em torno do eixo indicado.
(c) y^{3}=x, y=3, x=0 e o eixo x;

Passo 1

O enunciado pede a região R no plano xy limitada por
y^{3}=x,\quad y=3,\quad x=0
e o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x, usando o método das cascas cilíndricas. Vamos precisar:
  • identificar os limites de y;
  • expressar a espessura, o raio e a altura de cada casca em função de y.

Passo 2

Para esboçar R, note que y^{3}=x corta o eixo x em y=0. A reta y=3 é horizontal. A linha x=0 é o eixo y. Logo y varia de 0 a 3, e para cada y\in[0,3] temos
0\le x\le y^{3}. R é o conjunto dos pontos entre o eixo y e a curva x=y^{3}, de y=0 até y=3.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas para rotação em torno de x, usamos tiras horizontais de espessura \,dy.
Cada tira, a uma altura y, gira formando uma casca de:
raio =y, altura =x_{\rm direita}-x_{\rm esquerda}=y^{3}-0=y^{3}, espessura =dy.

Passo 4

O volume é dado por
V \;=\; 2\pi \int_{y=0}^{3} (\text{raio})\cdot(\text{altura})\,dy \;=\; 2\pi \int_{0}^{3} y\cdot y^{3}\,dy \;=\; 2\pi \int_{0}^{3} y^{4}\,dy.

Passo 5

Calculemos a integral:
\int_{0}^{3} y^{4}\,dy =\left[\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{3} =\frac{3^{5}}{5} =\frac{243}{5}.
Logo
V = 2\pi \cdot \frac{243}{5} =\frac{486\pi}{5}.

Resposta

O volume do sólido gerado é \displaystyle \frac{486\pi}{5}.

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