Em cada um dos itens abaixo, esboce a representação geométrica da região limitada, que chamaremos de
, contida no plano
, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das equações dadas. Além disso, determine, usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido gerado ppela rotação da região
, em torno do eixo indicado.
(c)
e o eixo
;
(c)
Passo 1
O enunciado pede a região
no plano
limitada por
e o volume do sólido gerado pela rotação de
em torno do eixo
, usando o método das cascas cilíndricas. Vamos precisar:
- identificar os limites de
; - expressar a espessura, o raio e a altura de cada casca em função de
.
Passo 2
Para esboçar
, note que
corta o eixo
em
. A reta
é horizontal. A linha
é o eixo
. Logo
varia de
a
, e para cada
temos
Passo 3
No método das cascas cilíndricas para rotação em torno de
, usamos tiras horizontais de espessura
.
Cada tira, a uma altura , gira formando uma casca de:
raio , altura
, espessura
.
Cada tira, a uma altura
raio
Passo 4
O volume é dado por
Passo 5
Calculemos a integral:
Logo
Resposta
O volume do sólido gerado é
.