Em cada um dos itens abaixo, faça o que se pede.
- Mostre que a equação diferencial dada possui um ponto singular regular em
.
- Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
- Encontre a solução em série de potências para
correspondente à maior raiz.
- Se as raízes não forem iguais e não diferem por um inteiro, encontre também a solução em série correspondente a menor raiz.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede, para
:
- Mostrar que
é ponto singular regular. - Determinar a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.
- Encontrar a solução em série de potências para
correspondente à maior raiz. - Se as raízes forem distintas e não diferirem por inteiro, encontrar também a solução em série correspondente à menor raiz.
Informações úteis dadas pelo enunciado: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes racionais em
e ponto potencialmente singular em
. Não há imagem nem dados adicionais.
Passo 2
Primeiro vamos verificar o tipo de singularidade em
. Colocamos a equação na forma padrão
dividindo por
:
Logo
Definição prática:
é ponto singular regular se
e
têm limite finito (ou são analíticos) em
. Calculamos:
Como esses limites são finitos,
é um ponto singular regular. (Isso justifica uso do método de Frobenius.)
Passo 3
Método de Frobenius: procuramos solução da forma
onde
é o expoente indicial a determinar. Calculamos derivadas termo a termo:
Substituindo na equação original
obtemos, termo a termo,
Agrupando os dois primeiros somandos usamos
. Assim
Reescrevendo a segunda soma com índice deslocado:
(podendo pensar
). Então, coletando os coeficientes de
,
Como a soma é nula para todo
, os coeficientes devem ser zero para todo
. Em particular, para
temos a equação indicial:
Passo 4
Da equação indicial
e como
obtemos a equação indicial
As raízes são
As raízes são distintas e a diferença
não é um inteiro. Portanto, pelo teorema de Frobenius, existem duas soluções independentes na forma de séries de Frobenius correspondentes a
e
.
Passo 5
Agora a relação de recorrência, obtida impondo que o coeficiente de
seja zero para
:
Daqui segue a fórmula recursiva
Aplicando recursivamente,
Essa fórmula vale para qualquer escolha de
(cada escolha dá uma solução de Frobenius).
Passo 6
Solução correspondente à maior raiz
(válida para
quando tomamos as potências
reais):
Escolhendo e fixando
como constante arbitrária
, os coeficientes ficam
Escolhendo
As primeiras parcelas explícitas são (para visualizar):
e assim por diante. Portanto a solução associada a
é
com a convenção de produto vazio igual a
para
. Em forma expandida até segunda ordem:
Passo 7
Solução correspondente à menor raiz
: como as raízes são distintas e não diferem por inteiro, também existe uma solução independente na forma de série de Frobenius com
. Tomando constante inicial
, a recorrência dá
As primeiras parcelas são
etc. A solução é
Passo 8
Resumo prático e observações de prova:
- A existência das séries decorre do fato de
ser singular regular e das raízes da indicial não diferenciarem por inteiro. - Cada série tem raio de convergência pelo menos até o primeiro singularidade finita além de
; a construção acima fornece as duas soluções lineares independentes. - Em uma prova, basta apresentar o teste de singularidade (Passo 2), o ansatz de Frobenius (Passos 3–5), resolver a indicial e escrever a recorrência e as séries até as primeiras parcelas (Passos 6–7). Não é necessário obter uma forma fechada para os coeficientes além do produto mostrado.
Resposta
Ponto singular regular em
: sim.
Equação indicial:
Raízes da indicial:
Relação de recorrência (válida para qualquer escolha de
):
ou equivalentemente
Solução em série para
correspondente à maior raiz
:
por exemplo
Como as raízes são distintas e não diferem por inteiro, a solução correspondente à menor raiz
também existe: