Em cada um dos itens abaixo, faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
\int \operatorname{arcsen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{arcsen}(x)\,dx
seguindo a ordem: primeiro fazer uma substituição adequada e depois aplicar integração por partes.
Informações dadas: a função integranda é \operatorname{arcsen}(x) (a função arco-seno) e a variável de integração é x. Não há outros dados numéricos. O objetivo final é obter uma primitiva explícita (mais uma constante de integração).

Passo 2

Escolher uma substituição. Como aparece \operatorname{arcsen}(x), uma substituição natural é definir o ângulo cuja seno é x. Ou seja, tomamos
x=\sin u.
Isso implica que u=\operatorname{arcsen}(x). A ideia é trocar a integral em x por uma integral em u onde a presença do arco-seno vira simplesmente u, tornando mais direto aplicar integração por partes.

Passo 3

Calcular dx em função de u. Diferenciando x=\sin u obtemos
dx=\cos u\,du.
Agora substituir na integral original: como u=\operatorname{arcsen}(x), a integranda \operatorname{arcsen}(x)\,dx fica u\cdot \cos u\,du. Portanto
\int \operatorname{arcsen}(x)\,dx = \int u\cos u\,du.

Passo 4

Relembrar a fórmula de integração por partes e escolher as funções. A fórmula de integração por partes é
\int U\,dV = U V - \int V\,dU,
onde U e dV são partes da integranda que escolhemos. Aqui a integral em u é \int u\cos u\,du. Fazemos a escolha conveniente:
U = u,\qquad dV = \cos u\,du.
Justificativa: U=u fica fácil de derivar ( dU=du) e dV=\cos u\,du é fácil de integrar (sai \sin u). Isso é exatamente o tipo de escolha padrão para integrais do tipo “polinômio vezes função trigonométrica”.

Passo 5

Calcular dU e V. Derivando U e integrando dV obtemos
dU = du,\qquad V = \int \cos u\,du = \sin u.

Passo 6

Aplicar integração por partes. Usando a fórmula,
\int u\cos u\,du = U V - \int V\,dU = u\sin u - \int \sin u\,du.
Agora integramos \int \sin u\,du:
\int \sin u\,du = -\cos u.
Portanto
\int u\cos u\,du = u\sin u - (-\cos u) = u\sin u + \cos u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Retornar à variável original x. Lembrando que u=\operatorname{arcsen}(x), que por construção satisfaz \sin u = x. Além disso, usando a identidade trigonométrica \cos u = \sqrt{1-\sin^2 u} e como \operatorname{arcsen}(x) toma valores em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] (onde o cosseno é não negativo), temos \cos u = \sqrt{1-x^2}. Substituindo,
\int \operatorname{arcsen}(x)\,dx = u\sin u + \cos u + C = x\operatorname{arcsen}(x) + \sqrt{1-x^2} + C.

Passo 8

Verificação rápida (para confiança): derivando a expressão obtida deve-se recuperar \operatorname{arcsen}(x). Diferenciando
\frac{d}{dx}\bigl(x\operatorname{arcsen}(x) + \sqrt{1-x^2}\bigr) = \operatorname{arcsen}(x) + x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \operatorname{arcsen}(x),
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

x\operatorname{arcsen}(x) + \sqrt{1-x^{2}} + C

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