Em cada um dos itens abaixo, faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
seguindo a ordem: primeiro fazer uma substituição adequada e depois aplicar integração por partes.
Informações dadas: a função integranda é (a função arco-seno) e a variável de integração é
. Não há outros dados numéricos. O objetivo final é obter uma primitiva explícita (mais uma constante de integração).
Informações dadas: a função integranda é
Passo 2
Escolher uma substituição. Como aparece
, uma substituição natural é definir o ângulo cuja seno é
. Ou seja, tomamos
Isso implica que
. A ideia é trocar a integral em
por uma integral em
onde a presença do arco-seno vira simplesmente
, tornando mais direto aplicar integração por partes.
Passo 3
Calcular
em função de
. Diferenciando
obtemos
Agora substituir na integral original: como
, a integranda
fica
. Portanto
Passo 4
Relembrar a fórmula de integração por partes e escolher as funções. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são partes da integranda que escolhemos. Aqui a integral em
é
. Fazemos a escolha conveniente:
Justificativa:
fica fácil de derivar (
) e
é fácil de integrar (sai
). Isso é exatamente o tipo de escolha padrão para integrais do tipo “polinômio vezes função trigonométrica”.
Passo 5
Calcular
e
. Derivando
e integrando
obtemos
Passo 6
Aplicar integração por partes. Usando a fórmula,
Agora integramos
:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Retornar à variável original
. Lembrando que
, que por construção satisfaz
. Além disso, usando a identidade trigonométrica
e como
toma valores em
(onde o cosseno é não negativo), temos
. Substituindo,
Passo 8
Verificação rápida (para confiança): derivando a expressão obtida deve-se recuperar
. Diferenciando
o que confirma que a primitiva está correta.