Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por partes quando conveniente.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A integral é indefinida (queremos uma primitiva).
- A função
só está definida para , então a primitiva encontrada será válida para . - Não há outros dados; o objetivo é obter uma expressão
tal que .
Passo 2
Apresentar e explicar a fórmula de integração por partes (a técnica que será usada).
A fórmula vem da regra do produto para derivadas. Se e
são funções diferenciáveis, a regra do produto diz:
A fórmula vem da regra do produto para derivadas. Se
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
Rearranjando,
Explicação do que cada símbolo significa:
- Em
, é uma função que será diferenciada para obter , e é uma parte do integrando que será integrada para obter . -
é a diferencial/derivada de : . -
é uma antiderivada de : .
Ideia prática: escolhade modo que seja mais simples que , e escolha de modo que seja fácil calcular .
Passo 3
Escolha das parcelas
e
para o nosso integrando
.
- Escolher
é interessante porque sua derivada é simples: . - O que resta é
, cujo antiderivado é fácil: .
Então temos:
Passo 4
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificar o integrando restante:
logo
Calcular a integral simples:
Substituindo de volta:
Opcionalmente, fatorando
:
Passo 5
Verificação rápida (dica de prova): derivar a primitiva encontrada para checar.
Considere . Usando a regra do produto e derivadas básicas:
Considere
Calcular cada derivada:
Portanto
confirmando que a primitiva está correta.