Calcule as integrais indefinidas a seguir usando a técnica de integração por partes quando conveniente.
\int x \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x \ln(x)\,dx.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A integral é indefinida (queremos uma primitiva).
  • A função \ln(x) só está definida para x>0, então a primitiva encontrada será válida para x>0.
  • Não há outros dados; o objetivo é obter uma expressão F(x) tal que F'(x)=x\ln(x).

Passo 2

Apresentar e explicar a fórmula de integração por partes (a técnica que será usada).
A fórmula vem da regra do produto para derivadas. Se u e v são funções diferenciáveis, a regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}.
Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
u v=\int u\,dv+\int v\,du.
Rearranjando,
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • Em \int u\,dv, u é uma função que será diferenciada para obter du, e dv é uma parte do integrando que será integrada para obter v.
  • du é a diferencial/derivada de u: du=\dfrac{du}{dx}\,dx.
  • v é uma antiderivada de dv: v=\int dv.
    Ideia prática: escolha u de modo que du seja mais simples que u, e escolha dv de modo que seja fácil calcular v.

Passo 3

Escolha das parcelas u e dv para o nosso integrando \;x\ln(x)\,dx.
  • Escolher u=\ln(x) é interessante porque sua derivada é simples: du=\dfrac{1}{x}\,dx.
  • O que resta é dv=x\,dx, cujo antiderivado é fácil: v=\displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Então temos:
u=\ln(x),\qquad dv=x\,dx,
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x\ln(x)\,dx=\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v, du:
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificar o integrando restante:
\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{2},
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\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2}\,dx.
Calcular a integral simples:
\int \frac{x}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}.
Substituindo de volta:
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln(x) - \frac{x^{2}}{4} + C.
Opcionalmente, fatorando \dfrac{x^{2}}{4}:
\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^{2}}{4}\big(2\ln(x)-1\big) + C.

Passo 5

Verificação rápida (dica de prova): derivar a primitiva encontrada para checar.
Considere F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}\ln(x)-\dfrac{x^{2}}{4}. Usando a regra do produto e derivadas básicas:
F'(x)=\left(\frac{x^{2}}{2}\right)'\ln(x)+\frac{x^{2}}{2}\left(\ln(x)\right)'-\left(\frac{x^{2}}{4}\right)'.
Calcular cada derivada:
\left(\frac{x^{2}}{2}\right)'=x,\qquad \left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x},\qquad \left(\frac{x^{2}}{4}\right)'=\frac{x}{2}.
Portanto
F'(x)=x\ln(x)+\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}-\frac{x}{2}=x\ln(x)+\frac{x}{2}-\frac{x}{2}=x\ln(x),
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}\ln(x)-\frac{x^{2}}{4}+C

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