Em cada um dos itens abaixo, faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
seguindo a instrução de primeiro fazer uma substituição e depois usar integração por partes. Informação dada: a integranda é o produto de
e
. O objetivo final é obter uma primitiva (uma expressão que, ao ser derivada, devolve a função dada), mais uma constante de integração.
Passo 2
Fazendo a substituição sugerida: coloque
Agora calcule
. Diferenciando, obtemos
Substituindo na integral original (peguei
e
), temos
Ou seja, a integral foi reduzida a
vezes
.
Passo 3
Agora vamos calcular
por integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções
e
,
Aqui escolhemos as partes de forma prática: tomar a função que fica mais simples ao derivar como
. Escolho
ou, na notação
, tomo
e
. Assim
Passo 4
Aplicando integração por partes com essas escolhas:
Portanto resta calcular a integral
Passo 5
Calcule
. Note que o numerador é a metade da derivada do denominador, pois
. Faça a substituição simples
Assim
Passo 6
Voltando à expressão da Passo 4:
Lembrando do fator
que ficou na Passo 2, a integral original é
Substituindo
de volta:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a expressão encontrada deve-se obter
.
Derivada de usando regra do produto e cadeia:
Derivada de
Derivada de
é
Somando as duas derivadas o termo com
cancela, sobrando exatamente
. Portanto a primitiva está correta.