Em cada um dos itens abaixo, faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
\int x \operatorname{arctg}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int x \operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx,
seguindo a instrução de primeiro fazer uma substituição e depois usar integração por partes. Informação dada: a integranda é o produto de x e \operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}\bigr). O objetivo final é obter uma primitiva (uma expressão que, ao ser derivada, devolve a função dada), mais uma constante de integração.

Passo 2

Fazendo a substituição sugerida: coloque
u = x^{2}.
Agora calcule du. Diferenciando, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral original (peguei u=x^{2} e x\,dx = \tfrac{1}{2}du), temos
\int x \operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\int \operatorname{arctg}(u)\,du.
Ou seja, a integral foi reduzida a \tfrac{1}{2} vezes \int \operatorname{arctg}(u)\,du.

Passo 3

Agora vamos calcular \int \operatorname{arctg}(u)\,du por integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções A(u) e B(u),
\int A(u)\,B'(u)\,du = A(u)B(u) - \int A'(u)B(u)\,du.
Aqui escolhemos as partes de forma prática: tomar a função que fica mais simples ao derivar como A(u). Escolho
A(u)=\operatorname{arctg}(u),\qquad B'(u)=1,
ou, na notação \int v\,dw = vw - \int w\,dv, tomo v=\operatorname{arctg}(u) e dw=du. Assim
dv = \frac{1}{1+u^{2}}\,du,\qquad w=u.

Passo 4

Aplicando integração por partes com essas escolhas:
\int \operatorname{arctg}(u)\,du = u\operatorname{arctg}(u) - \int u\cdot\frac{1}{1+u^{2}}\,du.
Portanto resta calcular a integral
\int \frac{u}{1+u^{2}}\,du.

Passo 5

Calcule \int \dfrac{u}{1+u^{2}}\,du. Note que o numerador é a metade da derivada do denominador, pois \dfrac{d}{du}(1+u^{2})=2u. Faça a substituição simples
t = 1+u^{2},\qquad dt = 2u\,du \quad\Rightarrow\quad u\,du = \tfrac{1}{2}\,dt.
Assim
\int \frac{u}{1+u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2}\ln|t| + C = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+u^{2}\bigr)+C.

Passo 6

Voltando à expressão da Passo 4:
\int \operatorname{arctg}(u)\,du = u\operatorname{arctg}(u) - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+u^{2}\bigr) + C.
Lembrando do fator \tfrac{1}{2} que ficou na Passo 2, a integral original é
\int x \operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\left[u\operatorname{arctg}(u) - \frac{1}{2}\ln\bigl(1+u^{2}\bigr)\right] + C.
Substituindo u=x^{2} de volta:
\int x \operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}x^{2}\operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}\bigr) - \frac{1}{4}\ln\bigl(1+x^{4}\bigr) + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a expressão encontrada deve-se obter x\operatorname{arctg}(x^{2}).
Derivada de \tfrac{1}{2}x^{2}\operatorname{arctg}(x^{2}) usando regra do produto e cadeia:
\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}\operatorname{arctg}(x^{2})\right) = x\operatorname{arctg}(x^{2}) + \tfrac{1}{2}x^{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{4}} = x\operatorname{arctg}(x^{2}) + \frac{x^{3}}{1+x^{4}}.
Derivada de -\tfrac{1}{4}\ln(1+x^{4}) é
-\tfrac{1}{4}\cdot\frac{4x^{3}}{1+x^{4}} = -\frac{x^{3}}{1+x^{4}}.
Somando as duas derivadas o termo com x^{3}/(1+x^{4}) cancela, sobrando exatamente x\operatorname{arctg}(x^{2}). Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}\operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{1}{4}\ln\bigl(1+x^{4}\bigr)+C

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