Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equação e encontre a solução geral.
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x^{2}+5 y^{2}}{2 x y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{2x^{2} + 5y^{2}}{2xy}
e pede para identificar o tipo de equação e encontrar a solução geral. Vamos verificar se é uma equação homogênea e, em caso afirmativo, usar a substituição apropriada.

Passo 2

Observamos que a função à direita
f(x,y)=\frac{2x^{2}+5y^{2}}{2xy}
satisfaz
f(tx,ty)=\frac{2t^{2}x^{2}+5t^{2}y^{2}}{2t^{2}xy} =f(x,y),
portanto é homogênea de grau zero. Isso indica que podemos usar a substituição
v=\frac{y}{x}.

Passo 3

Com y=v x temos
\frac{dy}{dx} =v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original, obtém-se
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{2 + 5v^{2}}{2v}.

Passo 4

Isolando o termo com dv/dx:
x\frac{dv}{dx} =\frac{2 + 5v^{2}}{2v}-v =\frac{2 + 5v^{2}-2v^{2}}{2v} =\frac{2+3v^{2}}{2v}.
Em seguida separamos variáveis:
\frac{2v}{2+3v^{2}}\,dv =\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Para a esquerda, use u=2+3v^{2}, du=6v\,dv:
\int \frac{2v}{2+3v^{2}}\,dv =\frac{1}{3}\int \frac{du}{u} =\frac{1}{3}\ln\bigl|u\bigr| =\frac{1}{3}\ln\bigl|2+3v^{2}\bigr|.
Do lado direito,
\int \frac{dx}{x}=\ln\bigl|x\bigr| + C.
Logo
\frac{1}{3}\ln\bigl|2+3v^{2}\bigr| =\ln\bigl|x\bigr|+C.

Passo 6

Multiplicando por 3 e exponenciando:
\ln\bigl|2+3v^{2}\bigr| =3\ln\bigl|x\bigr|+C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|2+3v^{2}\bigr|=C\,x^{3}.
Trocando v=y/x de volta:
2+3\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} =C\,x^{3} \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+3y^{2}=C\,x^{5},
que é a forma implícita da solução geral.

Resposta

A equação é de primeira ordem homogênea em x e y e sua solução geral pode ser escrita como
2x^{2}+3y^{2}=C\,x^{5},
onde C é constante arbitrária.

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