Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equação e encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para identificar o tipo e achar a solução geral. Vamos escrever em forma explícita
e ver se ela depende apenas da razão
, o que caracteriza uma equação homogênea.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
e por
, obtemos
Note que o lado direito é função de
. Isso mostra que a equação é do tipo homogênea.
Passo 3
Fazemos a substituição clássica para homogêneas:
No lado direito, definindo
, temos
Logo a equação vira
Passo 4
Cancelamos o
dos dois lados e separamos variáveis:
Agora integramos cada lado:
Passo 5
A integral do lado esquerdo por partes ou tabela é
e a do lado direito é
Igualando (absorvendo
) obtemos
Voltando a
, a solução implícita geral fica
Resposta
e a equação é do tipo homogênea.