Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equação e encontre a solução geral.
\left(x^{2} e^{\frac{-y}{x}}+y^{2}\right) d x=x y d y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(x^{2}e^{-\frac{y}{x}}+y^{2}\bigr)\,dx = x\,y\,dy
e pede para identificar o tipo e achar a solução geral. Vamos escrever em forma explícita dy/dx e ver se ela depende apenas da razão y/x, o que caracteriza uma equação homogênea.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por dx e por x\,y, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}e^{-\frac{y}{x}}+y^{2}}{x\,y} = \frac{x^{2}e^{-\frac{y}{x}}}{x\,y} \;+\;\frac{y^{2}}{x\,y} = \frac{x}{y}\,e^{-\frac{y}{x}} \;+\;\frac{y}{x}.
Note que o lado direito é função de \displaystyle \frac{y}{x}. Isso mostra que a equação é do tipo homogênea.

Passo 3

Fazemos a substituição clássica para homogêneas:
y = z\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = z + x\,\frac{dz}{dx}.
No lado direito, definindo z = \frac{y}{x}, temos
\frac{x}{y}\,e^{-\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} = \frac{1}{z}\,e^{-z} + z.
Logo a equação vira
z + x\,\frac{dz}{dx} = \frac{1}{z}\,e^{-z} + z.

Passo 4

Cancelamos o z dos dois lados e separamos variáveis:
x\,\frac{dz}{dx} = \frac{1}{z}\,e^{-z} \quad\Longrightarrow\quad z\,e^{z}\,dz = \frac{dx}{x}.
Agora integramos cada lado:

Passo 5

A integral do lado esquerdo por partes ou tabela é
\int z\,e^{z}\,dz = e^{z}(z-1) + C_{1},
e a do lado direito é
\int \frac{dx}{x} = \ln\bigl|x\bigr| + C_{2}.
Igualando (absorvendo C=C_{2}-C_{1}) obtemos
e^{z}\,(z-1) = \ln\bigl|x\bigr| + C.
Voltando a z=\tfrac{y}{x}, a solução implícita geral fica

Resposta

e^{\frac{y}{x}}\!\Bigl(\frac{y}{x}-1\Bigr) \;-\;\ln\bigl|x\bigr| \;=\; C,
e a equação é do tipo homogênea.

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