Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equação e encontre a solução geral.
y^{2}+\cos x+\left(2 x y+e^{y}\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y^{2}+\cos x+\bigl(2xy+e^{y}\bigr)\frac{dy}{dx}=0
e pede para identificar o tipo de equação e obter a solução geral. Aqui vamos ver que ela pode ser colocada na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
com
M(x,y)=y^{2}+\cos x, \quad N(x,y)=2xy+e^{y}.

Passo 2

Verificamos se é exata conferindo
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}+\cos x\bigr)=2y,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy+e^{y}\bigr)=2y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}=M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).
Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y)=\int\bigl(y^{2}+\cos x\bigr)\,dx =xy^{2}+\sin x +h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos \Psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =2xy + h'(y) \stackrel{!}{=}2xy+e^{y} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=e^{y} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=e^{y}.
Logo a função potencial é
\Psi(x,y)=xy^{2}+\sin x + e^{y}.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
xy^{2}+\sin x+e^{y}=C,
onde C é constante arbitrária.

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