Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equação e encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma
com
Isso é uma equação de primeiro ordem em forma diferencial. Como
e
são homogêneos de mesmo grau (grau 2), o tipo é “equação homogênea”. Para resolver, vamos usar a substituição
transformando em equação separável.
Passo 2
Reescrevendo em forma de derivada, temos
Como a razão entre polinômios é função de
, confirmamos que é homogênea. Logo, substituímos
para obter
Passo 3
Isolando
,
Isto é separável:
Passo 4
Integramos ambos os lados. Para a esquerda, fazemos frações parciais ou observamos que
Do lado direito,
Logo
Passo 5
Voltando a
, obtemos a solução geral implícita:
Podemos reescrever de forma equivalente, por exemplo,
Resposta
A equação é homogênea de grau 2 e a sua solução geral implícita é