Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equação e encontre a solução geral.
\left(x^{2}+x y-3 y^{2}\right) d x-\left(x^{2}+2 x y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=x^{2}+x y-3y^{2}, \quad N(x,y)=-\bigl(x^{2}+2x y\bigr).
Isso é uma equação de primeiro ordem em forma diferencial. Como M e N são homogêneos de mesmo grau (grau 2), o tipo é “equação homogênea”. Para resolver, vamos usar a substituição
y = u\,x,
transformando em equação separável.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada, temos
(x^{2}+x y-3y^{2})\,dx = (x^{2}+2x y)\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+x y-3y^{2}}{\,x^{2}+2x y\,}.
Como a razão entre polinômios é função de y/x, confirmamos que é homogênea. Logo, substituímos y=u\,x para obter
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx} = \frac{1+u-3u^{2}}{1+2u}.

Passo 3

Isolando du/dx,
u + x\frac{du}{dx} = \frac{1+u-3u^{2}}{1+2u} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{du}{dx} = \frac{1+u-3u^{2}}{1+2u} - u = \frac{1 - 5u^{2}}{1+2u}.
Isto é separável:
\frac{1+2u}{1-5u^{2}}\,du = \frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Para a esquerda, fazemos frações parciais ou observamos que
\int \frac{1+2u}{1-5u^{2}}\,du = -\frac{1}{5}\ln\bigl|1-5u^{2}\bigr| + \frac{1}{\sqrt{5}}\artanh\!\bigl(\sqrt{5}\,u\bigr).
Do lado direito,
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C.
Logo
-\tfrac{1}{5}\ln\bigl|1-5u^{2}\bigr| + \tfrac{1}{\sqrt{5}}\artanh\!\bigl(\sqrt{5}u\bigr) = \ln|x| + C.

Passo 5

Voltando a u = y/x, obtemos a solução geral implícita:
-\tfrac{1}{5}\ln\!\Bigl|1-5\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}\Bigr| + \tfrac{1}{\sqrt{5}}\artanh\!\Bigl(\sqrt{5}\,\tfrac{y}{x}\Bigr) = \ln|x| + C.
Podemos reescrever de forma equivalente, por exemplo,
\sqrt{5}\,\artanh\!\Bigl(\sqrt{5}\,\tfrac{y}{x}\Bigr) - \ln\!\Bigl|1-5\tfrac{y^{2}}{x^{2}}\Bigr| = 5\ln|x| + C'.

Resposta

A equação é homogênea de grau 2 e a sua solução geral implícita é
-\tfrac{1}{5}\ln\!\Bigl|1-5\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)^{2}\Bigr| + \tfrac{1}{\sqrt{5}}\artanh\!\Bigl(\sqrt{5}\,\tfrac{y}{x}\Bigr) = \ln|x| + C.

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