Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equaçăo e encontre a soluçăo geral.
\left(a x^{2}+b\right)^{\frac{1}{2}} y^{\prime}-x y^{3}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\sqrt{a x^{2}+b}\,y' - x\,y^{3} = 0
onde a e b são constantes. Reconhecemos que é uma equação separável, pois podemos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Colocamos a equação na forma \frac{dy}{dx} = \cdots. A partir de
\sqrt{a x^{2}+b}\,\frac{dy}{dx} = x\,y^{3}
dividimos ambos os lados por \sqrt{a x^{2}+b} e por y^{3}, obtendo
y^{-3}\,\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{a x^{2}+b}}.

Passo 3

Agora separamos as variáveis: colocamos todos os termos em y no lado esquerdo e em x no lado direito, de modo que
y^{-3}\,dy = \frac{x}{\sqrt{a x^{2}+b}}\,dx.
Em seguida integramos cada lado em relação à sua variável.

Passo 4

Calculamos as integrais de cada lado:
Para y:
\int y^{-3}\,dy = \int y^{-3}dy = -\frac{1}{2\,y^{2}} + C_{1}.
Para x, usamos a substituição u = a x^{2}+b, du = 2a\,x\,dx, logo
\int \frac{x}{\sqrt{a x^{2}+b}}\,dx = \int \frac{1}{2a}\,\frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2a}\cdot 2\,u^{\tfrac12} = \frac{\sqrt{a x^{2}+b}}{a} + C_{2}.

Passo 5

Igualando as duas primitivas (absorvendo C_{1}-C_{2} numa constante única C) temos
-\frac{1}{2\,y^{2}} = \frac{\sqrt{a x^{2}+b}}{a} + C.
Multiplicando por -2 e reorganizando obtemos
\frac{1}{y^{2}} = -\frac{2}{a}\,\sqrt{a x^{2}+b} + C',
onde C'=-2C é constante arbitrária. Por fim isolamos y.

Resposta

A solução geral pode ser escrita como
\frac{1}{y(x)^{2}} = C - \frac{2}{a}\,\sqrt{a x^{2}+b},
ou equivalentemente
y(x) = \pm\biggl(C - \tfrac{2}{a}\sqrt{a x^{2}+b}\biggr)^{-\tfrac12},
onde C é constante de integração.

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