Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equaçăo e encontre a soluçăo geral.
\left(a y^{2}+b\right)^{\frac{1}{2}} y^{\prime}-x y y^{\prime}=0
a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(a y^{2}+b\bigr)^{\tfrac12}\,y' \;-\; x\,y\,y' \;=\;0,
com a,b\in\mathbb{R} e a\neq0. O que temos aqui é um produto envolvendo y'. Para resolver, vamos fatorar esse produto e estudar cada caso que o anula.

Passo 2

Colocando y' em evidência, reescrevemos
\bigl((a y^{2}+b)^{\tfrac12}-x\,y\bigr)\,y'=0.
Como o produto de dois fatores é zero, temos duas possibilidades:
  1. y'=0.
  2. (a y^{2}+b)^{\tfrac12}-x\,y=0.

Passo 3

Caso y'=0:
Integramos
y'=0 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=C,
onde C é constante arbitrária. Essa família de soluções satisfaz a equação original pois multiplica y'=0.

Passo 4

Caso (a y^{2}+b)^{\tfrac12}-x\,y=0:
Temos
(a y^{2}+b)^{\tfrac12}=x\,y.
Elevando ao quadrado,
a y^{2}+b = x^{2}y^{2} \;\Longrightarrow\; (a - x^{2})\,y^{2} + b = 0 \;\Longrightarrow\; y^{2} = \frac{b}{x^{2}-a}.
Logo,
y(x)=\pm\sqrt{\frac{b}{\,x^{2}-a\,}},
com a condição x^{2}\neq a e sinal de b/(x^{2}-a) não negativo para a raiz ser real.

Resposta

Tipo da equação: equação diferencial ordinária de primeira ordem, não linear, mas fatorável em \bigl((a y^{2}+b)^{1/2}-x y\bigr)\,y'=0.
Solução geral:
\boxed{ y(x)=C,\quad C\in\mathbb{R}; \quad\text{ou}\quad y(x)=\pm\sqrt{\frac{b}{\,x^{2}-a\,}},\;x^{2}\neq a. }

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