Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equaçăo e encontre a soluçăo geral.
\left(1+x^{2}\right) \frac{d y}{d x}-x y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(1+x^{2})\frac{dy}{dx}-x\,y=0
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem homogênea e, simultaneamente, de uma EDO separável.

Passo 2

Colocamos a equação na forma explícita de y':
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{1+x^{2}}\,y.

Passo 3

Como é separável, escrevemos
\frac{1}{y}\,dy=\frac{x}{1+x^{2}}\,dx
e integramos ambos os lados.

Passo 4

Calculamos as integrais:
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y\rvert + C_{1}, \qquad \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+C_{2}.
Igualando e absorvendo constantes, obtemos
\ln\lvert y\rvert = \tfrac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)+C \quad\Longrightarrow\quad y = C'\,(1+x^{2})^{1/2},
onde C'= \pm e^{C} é a constante geral.

Resposta

É uma EDO linear de 1ª ordem homogênea (e separável) e a solução geral é
y(x)=C\,(1+x^{2})^{1/2},\quad C\in\mathbb{R}.

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