Determine se as funçồes abaixo sâo homogêneas e, no caso afirmativo, especifique o grau de homogeneidade.
f(x, y)=\frac{x^{3} y-x^{2} y^{2}}{(x+8 y)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=\frac{x^{3}y - x^{2}y^{2}}{(x + 8y)^{2}}
é homogênea e, em caso afirmativo, determinar o grau de homogeneidade. Lembrando que f é homogênea de grau k se, para todo t\neq0,
f(tx,\,ty)=t^{k}f(x,y).

Passo 2

Calculamos f(tx,\,ty). No numerador,
(tx)^{3}(ty) - (tx)^{2}(ty)^{2} = t^{4}\bigl(x^{3}y - x^{2}y^{2}\bigr).
No denominador,
\bigl(tx + 8\,ty\bigr)^{2} = t^{2}(x + 8y)^{2}.
Logo,
f(tx,\,ty) = \frac{t^{4}\bigl(x^{3}y - x^{2}y^{2}\bigr)}{t^{2}(x + 8y)^{2}} = t^{2}\,\frac{x^{3}y - x^{2}y^{2}}{(x + 8y)^{2}} = t^{2}f(x,y).

Passo 3

Como f(tx,\,ty)=t^{2}f(x,y) para todo t\neq0, a função é homogênea de grau 2.

Resposta

A função é homogênea de grau 2.

Exercícios relacionados