Verifique que as equaçồes abaixo năo sâo exatas.
x+\left(x^{2} y+4 y\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
x + \bigl(x^{2}y + 4y\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 0
não é exata. O conteúdo necessário é o teste de exatidão: reescrevemos a ODE na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
e comparamos \partial M/\partial y com \partial N/\partial x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x
e
N(x,y) = x^{2}y + 4y.
Isso porque a equação x + (x^{2}y + 4y)\,dy/dx = 0 equivale a
x\,dx + (x^{2}y+4y)\,dy = 0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y+4y\bigr) = 2xy.

Passo 4

Como
\frac{\partial M}{\partial y} = 0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2xy,
e 0 \neq 2xy em geral, concluímos que a equação não satisfaz o teste de exatidão.

Resposta

A equação não é exata, pois \partial M/\partial y = 0 \neq \partial N/\partial x = 2xy.

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