Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equaçăo e encontre a soluçăo geral.
a y{2}+b-x{2} y y^{\prime}=0
a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
a\,y^{2} + b \;-\; x^{2}\,y\,y' \;=\;0,
onde y'=dy/dx, e a,b\in\mathbb{R}, a\neq0. Identificamos que é uma equação separável, pois podemos escrever y' em função de x e y e então isolar variáveis.

Passo 2

Reescrevemos isolando y':
x^{2}\,y\,y' \;=\; a\,y^{2} + b \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} \;=\;\frac{a\,y^{2} + b}{x^{2}\,y}.
Agora separam-se as variáveis y de um lado e x do outro:
\frac{y}{a\,y^{2} + b}\,dy \;=\;\frac{dx}{x^{2}}.

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, usamos a substituição u = a\,y^{2}+b, logo du = 2a\,y\,dy, ou seja y\,dy = du/(2a). Assim
\int \frac{y}{a\,y^{2} + b}\,dy = \frac{1}{2a}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2a}\ln\bigl|u\bigr| = \frac{1}{2a}\ln\bigl|a\,y^{2}+b\bigr|.
No lado direito,
\int \frac{dx}{x^{2}} = -\,\frac{1}{x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Igualando as primitivadas:
\frac{1}{2a}\ln\bigl|a\,y^{2}+b\bigr| = -\frac{1}{x} + C.
Multiplicando por 2a e exponenciando, obtemos
\ln\bigl|a\,y^{2}+b\bigr| = -\frac{2a}{x} + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \bigl|a\,y^{2}+b\bigr| = C_{2}\,e^{-2a/x},
onde C_{1}=2aC e C_{2}=e^{C_{1}} é nova constante positiva (ou negativa, absorvendo o módulo).

Passo 5

Podemos escrever a solução geral de forma implícita:
a\,y^{2} + b = C\,e^{-2a/x},
com C\in\mathbb{R}. Se quisermos a forma explícita:
y(x) = \pm\sqrt{\frac{C\,e^{-2a/x} - b}{a}}.

Resposta

A equação é do tipo separável. A solução geral, de forma implícita, é
a\,y^{2} + b = C\,e^{-2a/x},
onde C é constante arbitrária. Explicitamente,
y(x)=\pm\sqrt{\frac{C\,e^{-2a/x} - b}{a}}.

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