Prove que existem infinitos primos da forma 6 k+5.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que há infinitos números primos congruentes a 5 módulo 6, ou seja, da forma 6k+5. O conteúdo principal é teoria de congruências e prova por contradição, usando a construção de um número especial que force o aparecimento de um novo primo nessa classe. Precisamos usar o fato de que todo primo maior que 3 satisfaz p\equiv\pm1\pmod6.

Passo 2

Suponha, por contradição, que existam apenas finitamente muitos primos da forma 6k+5; chame-os de
p_1,\;p_2,\;\dots,\;p_n
todos congruentes a 5 módulo 6. Defina
P = p_1 p_2 \cdots p_n
e considere o número
N = 6P - 1.
Note que N\equiv6P-1\equiv-1\equiv5\pmod6.

Passo 3

Observe que N não é divisível por 2 nem por 3, pois
N\equiv5\pmod6
é ímpar e não múltiplo de 3. Tampouco nenhum dos primos p_i divide N, porque se p_i\mid N e p_i\mid6P então p_i dividiria a diferença
N - 6P = -1,
o que é impossível. Logo, todos os divisores primos de N são ou maiores que 3 e distintos de p_1,\dots,p_n.

Passo 4

Qualquer primo q>3 satisfaz q\equiv1\pmod6 ou q\equiv5\pmod6. Escrevendo a fatoração de N em primos,
N = q_1^{\alpha_1}q_2^{\alpha_2}\cdots q_m^{\alpha_m},
teríamos, se todos os q_j fossem congruentes a 1 módulo 6,
N \equiv 1\cdot1\cdots1 \equiv 1\pmod6,
o que contradiz N\equiv5\pmod6. Portanto existe pelo menos um divisor primo q de N tal que
q\equiv5\pmod6,
e esse q não está na lista p_1,\dots,p_n.

Resposta

Como a hipótese de que havia apenas finitamente muitos primos da forma 6k+5 levou à existência de um novo primo nessa mesma forma, segue-se que sempre podemos encontrar um primo distinto de 6k+5. Assim, existem infinitos primos congruentes a 5 módulo 6.

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