Prove que existem infinitos primos da forma
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que há infinitos números primos congruentes a
módulo
, ou seja, da forma
. O conteúdo principal é teoria de congruências e prova por contradição, usando a construção de um número especial que force o aparecimento de um novo primo nessa classe. Precisamos usar o fato de que todo primo maior que
satisfaz
.
Passo 2
Suponha, por contradição, que existam apenas finitamente muitos primos da forma
; chame-os de
todos congruentes a
módulo
. Defina
e considere o número
Note que
.
Passo 3
Observe que
não é divisível por
nem por
, pois
é ímpar e não múltiplo de
. Tampouco nenhum dos primos
divide
, porque se
e
então
dividiria a diferença
o que é impossível. Logo, todos os divisores primos de
são ou maiores que
e distintos de
.
Passo 4
Qualquer primo
satisfaz
ou
. Escrevendo a fatoração de
em primos,
teríamos, se todos os
fossem congruentes a
módulo
,
o que contradiz
. Portanto existe pelo menos um divisor primo
de
tal que
e esse
não está na lista
.
Resposta
Como a hipótese de que havia apenas finitamente muitos primos da forma
levou à existência de um novo primo nessa mesma forma, segue-se que sempre podemos encontrar um primo distinto de
. Assim, existem infinitos primos congruentes a
módulo
.