Resolva os problemas de valor inicial
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
.
O conteúdo é equações diferenciais exatas. Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial tal que
O conteúdo é equações diferenciais exatas. Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial
e então aplicar
.
Passo 2
Verificamos a condição de exatidão calculando
Como os dois são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Integramos
em relação a
para obter
onde
é função a determinar.
Passo 4
Calculamos
e igualamos a
:
Logo
Integrando em
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a solução implícita geral
Expandindo e simplificando:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
,
:
Logo
.
Passo 7
A solução que satisfaz a condição inicial é dada implicitamente por