Resolva os problemas de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}(x+y)^{2} d x+\left(2 x y+x^{2}-1\right) d y=0 \\\ y(1)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(x+y)^{2}\,dx + \bigl(2xy + x^{2} - 1\bigr)\,dy = 0
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo é equações diferenciais exatas. Vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = (x+y)^{2}, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = 2xy + x^{2} - 1,
e então aplicar y(1)=1.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão calculando
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[(x+y)^{2}\bigr] = 2\,(x+y), \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl[2xy + x^{2} - 1\bigr] = 2\,y + 2\,x = 2\,(x+y).
Como os dois são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Integramos \,M(x,y)=(x+y)^{2} em relação a x para obter
\Phi(x,y) = \int (x+y)^{2}\,dx = \frac{(x+y)^{3}}{3} + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Calculamos \Phi_{y} e igualamos a N(x,y)=2xy + x^{2}-1:
\Phi_{y} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl[\frac{(x+y)^{3}}{3} + h(y)\Bigr] = (x+y)^{2} + h'(y).
Logo
(x+y)^{2} + h'(y) = x^{2} + 2xy - 1 \;\Longrightarrow\; h'(y) = -1 - y^{2}.
Integrando em y:
h(y) = \int(-1 - y^{2})\,dy = -y - \frac{y^{3}}{3} + C_{1}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Phi, obtemos a solução implícita geral
\Phi(x,y) = \frac{(x+y)^{3}}{3} - y - \frac{y^{3}}{3} = C.
Expandindo e simplificando:
\Phi(x,y) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2}y + xy^{2} - y = C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1, y=1:
\frac{1^{3}}{3} + 1^{2}\cdot1 + 1\cdot1^{2} - 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 - 1 = \frac{4}{3}.
Logo C = \tfrac{4}{3}.

Passo 7

A solução que satisfaz a condição inicial é dada implicitamente por
\frac{x^{3}}{3} + x^{2}y + xy^{2} - y = \frac{4}{3}.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} + x^{2}y + xy^{2} - y = \frac{4}{3}.

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