Em cada um dos itens abaixo identifique qual 0 tipo de equaçăo e encontre a soluçăo geral.
(x+y) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
(x+y)\,dx + x\,dy = 0
Trata-se de uma equação de primeira ordem, que podemos resolver verificando se ela é exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x+y, \quad N(x,y) = x.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y) = x+y.
Integrando em relação a x, obtemos
\psi(x,y) = \int (x+y)\,dx = \frac{x^2}{2} + x\,y + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos a condição
\frac{\partial \psi}{\partial y} = x + h'(y) \;\stackrel!=\; N(x,y) = x.
Isso implica h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral vem de
\psi(x,y) = \frac{x^2}{2} + x\,y = C,
com C constante arbitrária. Podemos multiplicar por 2 e escrever
x^2 + 2\,x\,y = C'.

Resposta

A equação é exata e a solução geral é
\frac{x^2}{2} + x\,y = C \quad\text{ou}\quad x^2 + 2\,x\,y = C',
onde C (ou C') é constante arbitrária.

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